Простая задача о смеси

Производство кормов для животных является типичной задачей о смеси. Вопрос состоит в следующем: как смешать при минимальной цене исходные компоненты, чтобы получит корм, содержащий необходимое количество определенных ингредиентов?

Задача о смеси интересна не только в области изготовления кормов для животных. В качестве примеров можно привести задачу о минимальной цене различных сортов руды, из которых изготавливается сплав с заданными характеристиками, или задачу о наилучшей комбинации нефтепродуктов для производства бензина с заданными характеристиками.

Постановка задачи

Задача о смеси в данном примере состоит из ежедневной проблемы, стоящей перед свинофермой Swine&Rose. Корм для свиней должен удовлетворять некоторым требованием на содержание в нем некоторых питательных веществ A, B, C и D, обеспечивающих быстрый рост и отменное здоровье животных. Эти питательные вещества содержатся в различных гранулированных кормовых продуктах. Каждый из них содержит различную комбинацию питательных веществ и различную цену за единицу веса. Все эти данные показаны в таблице:

	Содержание питательных в-в единице веса для: Корм1 Корм2 Корм3 Корм4	Минимальные потребности
Питательные вещества
A   B   C   D	2 3 7 1   1 1 0 1   5 1 0 1   0.6 0.25 1 1	232.5
Цена за единицу веса	$41.00 35.00 $96.00 $100.00

Цель оптимизации

Цель состоит в том, чтобы минимизировать цену кормовой смеси, составленной из различных гранулированных кормов, удовлетворив при этом требованиям на минимальное содержание в смеси питательных веществ.

Модель

Прежде всего, целевая функция: просто минимизировать (MIN) сумму количеств закупаемых гранулированных кормов (GRAIN1, GRAIN2 и т.д.), умноженных на их цену единицы веса. В соответствии с данными таблицы, мы получаем к следующей формулировке:

MIN 41 GRAIN1 + 35 GRAIN2 + 96 GRAIN3 + 100 GRAIN4

Далее, мы должны записать ограничение на каждое из питательных веществ. Каждое из таких ограничений определяется тем, что количество питательного вещества в результирующей смеси должно по крайней мере соответствовать минимальным потребностям. Обращаясь снова к приведенной выше таблице, мы можем записать ограничение для вещества A следующим образом:

AXGRAIN) 2 GRAIN1 + 3 GRAIN2 + 7 GRAIN3

GRAIN4 >= 1250

Отметим, что коэффициент 1 не обязательно указывать перед переменной GRAIN4. Остальные ограничения строятся по тому же принципу, так что окончательная модель выглядит следующим образом:

MIN 41 GRAIN1 + 35 GRAIN2 + 96 GRAIN3 + 100 GRAIN4

SUBJECT TO

AXGRAIN) 2 GRAIN1+3 GRAIN2+7 GRAIN3+GRAIN4>=1250

BXGRAIN) GRAIN1+GRAIN2+GRAIN4>=250

CXGRAIN) 5 GRAIN1+3GRAIN2+GRAIN4>=900

DXGRAIN) 0.6 GRAIN1+0.25 GRAIN2+GRAIN3+GRAIN4>=232.5

END

После нажатия кнопки Solver, получим решение:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 19550.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

GRAIN1 200.000000.000000

GRAIN2 50.000011.000000

GRAIN3 100.000000.000000

GRAIN4.000000 51.000003

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

AXGRAIN) -.000000 -8.000000

BXGRAIN) -.000000 -1.000000

CXGRAIN) 250.000000.000000

DXGRAIN) -.000000 -40.000000

NO. ITERATIONS= 3

Это решение дает общую цену кормовой смеси, равную $19,550, и показывает, что такая смесь, удовлетворяющая ограничениям на питательные вещества, состоит из 200 единиц корма GRAIN1, 50 единиц корма GRAIN2, 100 единиц корма GRAIN3. Отметим, что корм GRAIN4 не содержится в результирующей оптимальной смеси.

Простое периодическое планирование

Что делать, если ваше изделие производится из материалов, поставки которого ограничены и требуют специального или дорогостоящего оборудования для их хранения? В подобной ситуации вы должны стремиться уменьшить закупку и расходы на хранение материалов, обеспечив, тем не менее, достаточный запас для потребностей производства. Если вы имеете дело со скоропортящимися продуктами или ресурсами с ограниченными поставками, то вы столкнетесь с проблемой подобной рассматриваемой в данном примере.

Дата добавления: 2015-11-16