Постановка задачи

Введение

Y

Мы знаем, что любой объект измеряется, то есть имеет грани, стороны, углы и т.д. Размер объекта можно измерить в трёх направлениях: в ширину, длину и высоту. Эти направления в математике называются «измерениями» и имеют широкое применение в различных науках. Считается, что пространство, в котором мы живём, имеет три измерения, и называется «трёхмерным» пространством, так как в этом пространстве может быть только три независимых направления, три взаимно перпендикулярных вектора.

Четвёртый вектор, перпендикулярный к каждому из трёх векторов, мы провести не можем. Этот вектор дал бы нам «четвёртое» измерение.

Постановка задачи

Четвёртое измерение, или четырёхмерное пространство (гиперпространство) – в математике абстрактное понятие, производимое путём обобщения правил трёхмерного пространства. Оно изучалось математиками и философами на протяжении почти двух столетий как ради простого интереса, так и ради возможностей, которое это понятие открывает в математике и смежных областях.

Алгебраически оно получено путём применения правил векторов и аналитической геометрии к пространству с четырьмя измерениями. В частности, вектор с четырьмя компонентами может быть использован для представления позиции в четырёхмерном пространстве.

Три пространственных измерения образуют фундамент, основу греческой геометрии. Аристотель в трактате «О небе» писал: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух – плоскость, в трёх – тело, и, кроме них, нет никакой другой величины, так как три измерения суть все измерения». В 150 г. н. э. Птоломей Александрийский предложил первое «доказательство» того, что высшие измерения «невозможны». В трактате «О расстоянии» он рассуждает следующим образом. Проведём три взаимно перпендикулярные прямые линии (как линии, которые образуют угол комнаты). Очевидно, провести четвёртую линию, перпендикулярную трём первым, невозможно, следовательно, четвёртое измерение невозможно. На самом деле ему удалось доказать таким образом только одно: наш мозг не способен наглядно представить себе четвёртое измерение. С другой стороны, компьютеры постоянно занимаются расчётами в гиперпространстве.

На протяжении двух тысячелетий любой математик, который отваживался заговорить о четвёртом измерении, рисковал подвергнуться насмешкам. В 1685г. математик Джон Уоллис в полемике о четвёртом измерении назвал его «чудовищем в природе, возможным не более, нежели химера или кентавр». В XIX в. Карл Гаусс разработал математику четвёртого измерения в значительной степени, но побоялся публиковать результаты, опасаясь негативной реакции. Сам он, однако, проводил эксперименты и пытался определить, действительно ли чисто трёхмерная греческая геометрия правильно описывает Вселенную. В одном из экспериментов он поместил трёх помощников на вершины трёх соседних холмов. У каждого помощника был фонарь; свет всех трёх фонарей образовал в пространстве гигантский треугольник. Сам же Гаусс тщательно измерил все углы этого треугольника, и, к собственному разочарованию, обнаружил, что сумма внутренних углов треугольника действительно составляет 180º. Из этого учёный заключил, что если отступления от стандартной греческой геометрии и существуют, то они настолько малы, что их невозможно обнаружить такими способами.

В результате честь описать и опубликовать основы математики высших измерений выпала Георгу Бернхарду Риману, ученику Гаусса. (Через несколько десятилетий эта математика целиком вошла в общую теорию относительности Эйнштейна.) На своей знаменитой лекции в 1854г. Риман одним махом опрокинул 2000 лет владычества греческой геометрии и установил основы математики высших, криволинейных измерений; мы и сегодня пользуемся этой математикой.

В конце XIX в. Замечательное открытие Римана прогремело по всей Европе и вызвало широчайший интерес публики; четвёртое измерение произвело настоящую сенсацию среди артистов, музыкантов, писателей, философов и художников. Историк искусства Линда Дальримпл Хендерсон считает, что кубизм Пикассо возник отчасти под впечатлением от четвёртого измерения. Портреты женщин кисти Пикассо, на которых глаза смотрят вперёд, а нос находится сбоку, представляет собой попытку представить четырёхмерную перспективу, ведь при взгляде из четвёртого измерения можно одновременно видеть лицо, нос и затылок женщины. Хендерсон пишет: «Подобно черной дыре, четвёртое измерение обладало загадочными свойствами, которые не удавалось до конца понять даже самим учёным. И всё же четвёртое измерение было гораздо более понятным и представимым, чем чёрные дыры или любые другие научные гипотезы после 1919г., за исключение теории относительности».

Но исторически сложилось так, что физики рассматривали четвёртое измерение лишь как забавную диковинку. Никаких свидетельств существования высших измерений не было. Положение начало меняться в 1919г., когда физик Теодор Калуца написал очень спорную статью, в которой намекнул на существование высших измерений. Начав с общей теории относительности Эйнштейна, он поместил её в пятимерное пространство (четыре пространственных измерения и пятое – время; поскольку время уже утвердилось как четвёртое измерение пространства-времени, физики теперь называют четвёртое пространственное измерение пятым). Если делать размер Вселенной вдоль пятого измерения всё меньше и меньше, уравнения волшебным образом распадаются на две части. Одна часть описывает стандартную теорию относительности Эйнштейна, зато другая превращается в теорию света Максвелла.

Это стало поразительным откровением. Возможно, тайна света скрыта в пятом измерении. Такое решение шокировало даже Эйнштейна; казалось, оно обеспечивает элегантное объединение света и гравитации. Эйнштейн писал Калуце: «Идея получить объединённую теорию посредством пятимерного цилиндра никогда не пришла бы мне в голову. С первого взгляда мне ваша идея чрезвычайно понравилась. Формальное единство вашей теории поразительно».

Много лет физики задавались вопросом: если свет – это волна, то что, собственно, колеблется? Свет способен преодолевать миллиарды световых лет пустого пространства, но пустое пространство – это вакуум, в нём нет никакого вещества. Так что же колеблется в вакууме? Теория Калуцы позволяла выдвинуть по этому поводу конкретное предположение: свет – это настоящие волны в пятом измерении. Уравнение Максвелла, точно описывающее все свойства света, получаются в ней просто как уравнение волн, которые двигаются в пятом измерении.

Представьте себе рыб, плавающих в мелком пруду. Возможно, они даже не подозревают о существовании третьего измерения, ведь их глаза смотрят в стороны, а плыть они могут только вперёд или назад, вправо или влево. Возможно, третье измерение даже кажется им невозможным. Но теперь вообразите себе дождь на поверхности пруда. Рыбы не могут видеть третье измерение, но они видят тени и рябь на поверхности пруда. Точно также теория Калуцы объясняет свет как рябь, которая двигается по пятому измерению.

Калуца также дал ответ на вопрос, где находится пятое измерение. Поскольку мы не видим вокруг никаких признаков его существования, оно должно быть «свёрнутым» до столь малой величины, что заметить его невозможно. Возьмите двумерный лист бумаги и плотно скатайте его в цилиндр. Издалека цилиндр будет казаться одномерной линией. Получается, что вы свернули двумерный объект и сделали его одномерным.

На протяжении нескольких десятилетий Эйнштейн принимался время от времени работать над этой теорией. Но после его смерти в 1955г. теорию быстро забыли, она превратилась в забавное примечание на страницах истории физики.

Результаты

Можно рассмотреть данный вопрос более подробно, то есть рассмотреть каждое измерение отдельно.

Первое измерение. Первым измерением принято считать ось координат Х. Ось, на которой можно откладывать отрезки различной длины. Ось, на которой можно рассчитывать прямолинейные расстояния. Здесь можно обозначить точку, которая будет делить одномерное пространство на две части. Вторая точка будет разбивать дальше на новые составные и т.д.

Y

Второе измерение. К оси Х перпендикулярно откладываем ось Y. Получается плоская система координат или двухмерное пространство. Теперь точки и отрезки могут быть не только по оси Х, но и по оси Y. А также могут находится и не на осях Х и Y. Теперь из отрезков можно составить более сложные фигуры. (треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник, окружность и т.д.) В отличии от одномерного пространства, здесь для разделения на две или более частей, нужна прямая.

Y

Третье измерение. Теперь к плоской системе координат перпендикулярно отображаем ось Z. Также как и в предыдущих двух измерениях, в третьем можно откладывать отрезки вдоль осей X,Y, но теперь это можно делать и по оси Z. При соединении, получаются ещё более сложные фигуры, нежели во втором измерении.(куб, пирамида, конус, сфера и т.д.) Для разделения трёхмерного измерения, теперь понадобится плоскость.

Y

Четвёртое измерение. Вот и пришло время откладывать четвёртый перпендикуляр к осям X, Y, Z. Но куда? Вот, собственно основной вопрос. Проблема большинства в понимании четвёртого измерения и заключается в невозможности представить очередную ось. Отсюда и получаются факты и домыслы против теории, а также появляются всё новые и новые теории объяснить существование четвёртого измерения.

Давайте представим, что ось А и есть ось четвёртого измерения, которая перпендикулярна осям X,Y,Z, и направлена она куда-то.

Отношения между измерения можно рассмотреть следующим образом. Одномерное пространство делится нулевым (точкой), двухмерное – одномерным, а трёхмерное – двухмерным. Если посмотреть на данную цепочку, то справедливо будет предположить, что четырёхмерное пространство делится трёхмерным.

Исходя, из всего выше сказанного получается, что если откладывать по каждой оси точки, то по оси Х получается отрезок, по оси Y – квадрат, по оси Z – куб, тогда если откладывать отрезок по направлению оси А, то получится гиперкуб. Данную цепочку можно записать и по другому. Если гиперкуб спроецировать в трёхмерное пространство, то получится куб; если куб спроецировать в двухмерное пространство, получится квадрат. А если квадрат спроецировать в одномерное пространство, то получится отрезок. Конечно, это всё будет верно, при условии, что все стороны фигуры параллельны соответствующим осям координат.

Выводы

Тема четвёртого измерения была актуальна со времен Аристотеля и остаётся актуальной и по наши дни. За всё это время учёные пытались доказать или опровергнуть его существование, но определённого результата ещё никто не смог достигнуть. Но несмотря на это, всё больше и больше людей задаются вопросом о существовании четвёртого измерения, что даёт надежду на то, что в скором времени будет найден ответ на этот не простой вопрос.

Список литературы

1. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Кириллов А.А. Метод координат. — М: МЦНМО, 2009.

2. Александров А. Д., Нецветаева Н. Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.

3. Гордевский Д. З. Популярное введение в многомерную геометрию. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1964.

4. Парнасский И. В. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1978.

5. Угаров В.А. Специальная теория относительности. – М.: Наука, 1977.

Дата добавления: 2015-11-16