Створення (синтез) логічної функції комбінаційної схеми по таблиці істинності

Оскільки кожна комбінаційна схема (КС) повністю визначається таблицею істинності, це означає, що по таблиці істинності можна створити (синтезувати) логічну функцію, яка описує КС. Це можна зробити шляхом запису ДДНФ (Досконала Диз’юнктивна нормальна Форма) і ДКНФ (Досконала Кон’юнктивна Нормальна Форма). Не зважаючи на солідні назви, які можуть викликати острах у початківців, створити ДДНФ і ДКНФ зовсім не складно.

Кожному однобітному виходу КС відповідає одна логічна функція, яка пов’язує входи КС з цим виходом і яку можна визначити записавши ДДНФ чи ДКНФ по таблиці істинності. Якщо КС має кілька однобітних виходів, кожному з цих виходів буде відповідати своя логічна функція. Якщо виходи комбінаційної схеми багатобітні, кожен біт виходу буде описуватись логічною функцією.

Для запису логічної функції ДДНФ по таблиці істинності необхідно:

1. З таблиці істинності визначити комбінації сигналів на входах КС, для яких вихід КС приймає значення 1;

2. Для кожної такої комбінації необхідно сполучити всі входи за допомогою операції логічного І, при цьому до входів на яких присутні нулі необхідно застосувати операцію логічного заперечення (одержимо мінтерм, який приймає значення 1 на цьому наборі вхідних сигналів);

3. До результатів логічних операцій І (мінтермів), отриманих на попередньому кроці, необхідно застосувати логічну операцію АБО, результат якої і буде результатом логічної функції ДДНФ.

Таким чином логічна функція ДДНФ для певного однобітного виходу матиме вигляд:

(1.1)

Де a, b, c – однобітні входи КС, які є аргументами логічної функції. Якщо для i -ї комбінації сигналів на входах КС по таблиці істинності а =1, тоді в наведеній вище формулі приймаємо . Якщо ж для цієї комбінації вхідних сигналів а =0, тоді приймаємо (застосовуємо операцію заперечення до цього входу). Це стосується і інших входів (b, c і т.д.). Також потрібно пам’ятати, що складові формули (1.1), одержані застосування операції І, записуються лише для тих комбінацій вхідних сигналів, які приводять до 1 на виході КС для якого записується логічна функція ДДНФ.

В формулі (1.1) компоненти, одержані за допомогою операції І, називаються мінтермами. Формально мінтерм визначається, як кон’юнкція, що набуває значення одиниці лише для одного набору (комбінації) своїх аргументів. ДДНФ являє собою диз’юнкцію мінтермів, які перетворюються в одиницю на тих же наборах вхідних сигналів, що і задана логічна функція. Для кожної комбінації вхідних сигналів, що по таблиці істинності приводить до 1 на виході КС, завжди лише один із мінтермів буде дорівнювати 1. Оскільки мінтерми в ДДНФ об’єднані через операцію АБО, рівність одиниці одного з мінтермів приводить до 1 на виході логічної функції ДДНФ.

Для запису ДКНФ по таблиці істинності необхідно:

1. З таблиці істинності визначити комбінації сигналів на входах КС, для яких вихід комбінаційної схеми приймає значення 0;

2. Для кожної такої комбінації необхідно сполучити всі входи за допомогою операції логічного АБО, при цьому до входів на яких присутні одиниці необхідно застосувати операцію логічного заперечення (одержуємо макстерм, який приймає значення 0 на цьому наборі вхідних сигналів);

3. До результатів логічних операцій АБО (макстермів), отриманих на попередньому кроці, необхідно застосувати логічну операцію І, результат якої і буде результатом логічної функції ДКНФ.

Отже логічна функція ДКНФ для певного однобітного виходу матиме вигляд:

(1.2)

Де a, b, c – однобітні входи КС, які є аргументами логічної функції. Якщо для i -ї комбінації сигналів на входах КС по таблиці істинності а =0, тоді в наведеній вище формулі приймаємо . Якщо ж для цієї комбінації вхідних сигналів а =1, тоді приймаємо (застосовуємо операцію заперечення до цього входу). Це стосується і інших входів (b, c і т.д.). Також потрібно пам’ятати, що складові формули (1.2), одержані застосування операції АБО, записуються лише для тих комбінацій вхідних сигналів, які приводять до 0 на виході КС для якого записується логічна функція ДКНФ.

В формулі (1.2) компоненти, одержані за допомогою операції АБО, називаються макстермами. Формально макстерм визначається, як диз’юнкція, що набуває значення нуля лише для одного набору (комбінації) своїх аргументів. ДКНФ являє собою кон’юнкцію макстермів, які перетворюються в нуль на тих же наборах вхідних сигналів, що і задана логічна функція. Для кожної комбінації вхідних сигналів, що по таблиці істинності приводить до 0 на виході КС, завжди лише один із макстермів буде дорівнювати 0. Оскільки макстерми в ДКНФ об’єднані через операцію І, рівність нулю одного з макстермів приводить до 0 на виході логічної функції ДКНФ.

Розглянемо приклад запису ДДНФ і ДКНФ для КС напівсуматора, що сумує два біта вхідних сигналів (in1 та in2) і формує результат на однобітних виходах суми (s_out) та переноса (c_out). Таблиця істинності такого напівсуматора:

in1	in2	s_out	c_out

В таблиці істинності перераховані всі можливі комбінації двох однобітних вхідних сигналів in1 та in2. Сума двох нулів дає нуль (s_out=0). Сума одиниці і нуля дає одиницю (s_out=1). Сума двох одиниць дає нуль в розряді суми (s_out=0) і одиницю в розряді переноса (c_out=1). Оскільки КС напівсуматора має два однобітних виходи, для її реалізації необхідно створити дві логічні функції.

Запишемо ДДНФ для виходу s_out. Оскільки цей вихід перетворюється в 1 для комбінацій сигналів на входах in1=0, in2=1 і in1=1, in2=0, запишемо мінтерми для цих комбінацій. Для in1=0, in2=1 мінтерм буде . Для in1=1, in2=0, мінтерм буде . Об’єднаємо одержані мінтерми через операцію АБО і отримаємо ДДНФ:

З одержаної формули не складно помітити, що s_out можна реалізувати за допомогою вентиля XOR.

Вихід c_out приймає значення 1 лише для однієї комбінації сигналів на входах (in1=1, in2=1), тож ДДНФ для c_out буде містити лише один мінтерм :

c_out =

Запишемо ДКНФ для виходу s_out. Оскільки цей вихід перетворюється в 0 для комбінацій сигналів на входах in1=0, in2=0 і in1=1, in2=1, запишемо макстерми для цих комбінацій. Для in1=0, in2=0 макстерм буде . Для in1=1, in2=1, макстерм буде . Об’єднаємо одержані макстерми через операцію І та отримаємо ДКНФ:

Виконаємо перетворення над отриманим виразом з застосуванням законів алгебри логіки з метою довести, що логічні функції ДДНФ і ДКНФ для s_out еквівалентні:

Запишемо ДКНФ для виходу c_out. Оскільки цей вихід перетворюється в 0 для комбінацій сигналів на входах (in1=0, in2=0), (in1=0, in2=1) та (in1=1, in2=0) запишемо макстерми для цих комбінацій. Для in1=0, in2=0 макстерм буде . Для in1=0, in2=1, макстерм буде . Для in1=1, in2=0, макстерм буде . Об’єднаємо одержані макстерми через операцію І та отримаємо ДКНФ:

Виконаємо перетворення над отриманим виразом з застосуванням законів алгебри логіки з метою довести, що логічні функції ДДНФ і ДКНФ для c_out еквівалентні:

Як бачимо, запис ДДНФ для c_out дозволив отримати одразу оптимальний результат, тоді як ДКНФ довелося спрощувати. При записі логічних функцій, ДДНФ слід записувати, якщо вихід функції (за таблицею істинності) частіше приймає значення 1 ніж 0. У протилежному випадку краще застосовувати ДКНФ.

Дата добавления: 2015-11-16