Операции над предикатами

Над предикатами можно производить обычные логические операции [24]. В результате получают новые предикаты.

Инверсией предиката называется предикат, у которого значения истинности проинверсированы.

Конъюнкцией предикатов называется предикат, у которого множество истинностей является пересечением множеств истинности исходных предикатов.

Пусть Р(х) означает предикат «х делится на 2», Q(x) означает предикат «х делится на 3», P(x)∙Q(x) означает предикат «х делится на 2 и х делится на 3», т.е. определяет предикат делимости на 6.

Дизъюнкцией предикатов называется предикат, у которого множество истинности является объединением множеств истинности исходных предикатов.

Аналогично могут быть определены эквиваленция и импликация.

Очевидно, что переменные должны принимать значения из одного общего множества.

Пусть предикаты P₁(x,y) и P₂(x,y) (X={c,d,e},Y={a,b,c,d}) определяются соответствующими таблицами (табл. 85-86) [24]:

Таблица 85

Для P₁(x,y)

Y X	a	b	c	d
c
d
e

Таблица 86

Для P₂(x,y)

Y X	a	b	c	d
c
d
e

Тогда импликацией P₁(x,y)→P₂(x,y) будет предикат Р_и(х,у) (табл. 87), ложный в соответствующих клетках (табл. 85-86), где первый предикат P₁(x,y) истинный, а P₂(x,y) – ложный. Эквиваленцией P₁(x,y)↔P₂(x,y) будет предикат P_э(x,y) (табл. 88), истинный в соответствующих клетках (табл. 85-86), где оба предиката принимают одинаковые значения.

Таблица 87

Для P_и(x,y)

Y X	a	b	c	d
c
d
e

Таблица 88

Для P_э(x,y)

Y X	a	b	с	d
c
d
e

Также, как в логике высказываний определяется равносильность предикатов – она выполняется, когда на всяком наборе значений входящих в них переменных предикаты принимают одинаковые значения: P₁(x,y)«P₂(x,y).

Таким же образом можно определить следование P₁(x,y)→P₂(x,y) предиката P₂ из предиката P₁. Это выполняется тогда, когда P₁(x,y)→P₂(x,y) истинно на всех наборах переменных, т.е. множество истинности P₁ является подмножеством множества истинности предиката P₂ (множество предиката P₁ включается во множество истинности предиката P₂).

Очевидно, что свойства – одноместные отношения – являются одноместными предикатами, а многоместные отношения – это многоместные предикаты.

Дата добавления: 2015-07-11