Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Общее уравнение переноса



Читайте также:
  1. I. Общее представление о психодиагностике.
  2. А. Общее видение и общие цели
  3. В МНОГОКВАРТИРНОМ ДОМЕ. ОБЩЕЕ СОБРАНИЕ ТАКИХ СОБСТВЕННИКОВ
  4. Волновое уравнение
  5. Всеобщее священство верных. О сошествии во ад Христа.
  6. Глава 5. ОБЩЕЕ И ИНДИВИДУАЛЬНОЕ В ПСИХИКЕ
  7. Глава I. Общее представление о языке телодвижений.

При нарушениях равновесия в средах возникают потоки тепла, либо массы, либо импульса и т.п. В связи с этим, соответствующие процессы носят название явлений переноса. Явления переноса представляют собой необратимые процессы.

Введем некоторую скалярную величину , которая характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Этим свойством может быть энергия, импульс, концентрация, электрический заряд и т.д.

Известно, что градиентом какой-либо величины (скалярной) , зависящей от координат, называется вектор, характеризующий быстроту изменения этой величины в пространстве. Этот вектор направлен в сторону наиболее быстрого возрастания и численно равен быстроте этого возрастания.

Если в равновесном состоянии величина постоянна по объему, то при наличии градиента , имеет место движение этой величины в направлении его уменьшения.

 
 

Для удобства расчетов предположим, что в неограниченной среде перенос количества происходит в одном направлении, вдоль которого направим ось . То есть, пусть ось направлена вдоль градиента . Выделим в среде площадку , перпендикулярную к оси (рис.1).

 

 

Рис.3. К выводу общего уравнения переноса

 

Площадку пересекают молекулы, пришедшие со всевозможных направлений и пересекающие ее в направлении отрицательных значений оси . Число молекул в объеме равно , где – концентрация молекул вещества. Частица движется со средней скоростью и, следовательно, проходит среднюю длину свободного пробега за время . Поэтому средняя частота столкновений (среднее число столкновений за одну секунду) равна . В течение времени число молекул из данного объема в результате столкновений летят изотропно по всевозможным направлениям, в том числе и в направлении площадки , которая видна из элемента объема под углом . Число молекул, пересекших площадку и на пути от элемента объема не испытавших ни одного последующего столкновения, равно:

 

, (1)

 

где – множитель, который учитывает выбывание молекул из пучка из-за столкновений с другими молекулами;

– множитель, который определяет число молекул, приходящихся на данный телесный угол;

– расстояние от объема до центра площадки .

 

Поток числа молекул, пересекающих поверхность в единицу времени, равен:

 

(2)

 

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества,

– среднее число столкновений в секунду,

– средняя длина свободного пробега.

 

Теперь вычислим среднее расстояние вдоль оси , которое проходят молекулы, пересекающие площадку после последнего столкновения. Из теории вероятности известно, что среднее значение непрерывно изменяющейся величины равно

 

(3)

 

где дается формулой (1). В результате интегрирования (3) выражение для среднего расстояния, пробегаемого молекулами, пересекающими площадку (рис.1) после последнего столкновения примет вид:

 

, (4)

 

где – средняя длина свободного пробега молекулы.

 

Запишем на расстоянии от площадки с учетом того, что эта величина в большинстве случаев достаточно мала и ограничившись первым членом разложения в ряд Тейлора в точке :

 

. (5)

 

Поток числа молекул в направлении оси , согласно формуле (2) равен . Следовательно, поток сквозь площадку в направлении отрицательных значений оси равен

, (6)

 

а в направлении положительных значений оси дается выражением

 

, (7)

 

Следовательно, суммарный поток в положительном направлении оси в точке имеет вид

 

, (8)

 

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества,

– средняя длина свободного пробега молекулы,

– частная производная величины по .

 

Уравнение (8) является основным уравнением процессов переноса количества .

Здесь использован символ частной производной, поскольку величина зависит и от времени и от координаты .

Выражение (8) можно легко обобщить на случай трехмерного пространства:

 

, (9)

 

где , (10)

где – единичные векторы, направленные по осям прямоугольной системы координат;

– единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания .

 


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 219 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)