Читайте также:
|
|
& Литература: [8], [3], [7].
Как отмечалось, векторный формализм удобен в теории, а для получения результатов, подлежащих измерениям, следует использовать различные представления. В классической физике векторные величины представляют их проекциями. В квантовой механике от векторов состояния переходят к амплитудам в различных представлениях. Базисом представления может быть совокупность векторов ÷bñ какого-либо квантово-механического оператора (B-представление).
Пусть базис образует счетное множество векторов: ÷bñ = ÷kñ, где k = 1, 2, … Тогда произвольный вектор состояния можно представить в виде:
÷Yñ = =
, (10.1)
где Yk = – амплитуда состояния Y. Она представляет собой множество чисел, которое отображают матрицей-столбцом. Здесь и далее суммирование подразумевается по дважды повторяющимся индексам.
В сопряженном пространстве состояние Y описывается bra-вектором
÷Yñ+ = áYç = =
, (10.2)
где Yk+ = = Yk*. Это множество чисел отображают матрицей-строкой.
Применив к вектору состояния ÷Yñ некоторый оператор , получим другой вектор ÷jñ, который тоже может быть разложен по базису ÷kñ:
÷Yñ = ÷jñ,
=
. После умножения последнего равенства слева на ÷iñ получим:
=
=
= ji, или
= ji, где =
=
– матрица оператора
, ji – матрица-строка вектора ÷jñ. Таким образом, оператор
представляется матрицей
, а векторное уравнение
÷Yñ = ÷jñ – матричным уравнением
= ji.
Уравнение для нахождения собственных значений и собственных векторов оператора ÷Yñ=÷Yñ F в матричном представлении
= Yi F становится линейной однородной системой алгебраических уравнений. Такая система имеет не нулевые решения, если ее детерминант равен нулю. Приравняв его к нулю, получают уравнение, которое дает искомые значения F. Для каждого из найденных значений параметра F решение рассматриваемой системы уравнений (совокупность неизвестных Yi) и представляет собой матрицу-столбец собственного вектора оператора
.
В сопряженном пространстве оператору соответствует оператор
+. Он представляется матрицей
=
. Уравнение
÷Yñ = ÷jñ в матричной форме приобретает вид
= ji+. Матрицы оператора в сопряженных пространствах связаны соотношением
=
, то есть переход в сопряженное пространство осуществляется посредством двух процедур: комплексным сопряжением и транспонированием. Для самосопряженных операторов
+ =
, поэтому матрицы этих операторов удовлетворяют соотношению
=
. Их также называют самосопряженными или эрмитовыми.
Алгебра матриц согласована с алгеброй операторов. Так что, например, матрицей произведения операторов является произведение матриц этих операторов. Матрицы коммутирующих операторов тоже коммутируют.
В собственном представлении матрица оператора имеет диагональный вид, причем диагональные элементы совпадают с множеством экспериментально наблюдаемых значений величины, сопоставляемой данному оператору. Приведение матрицы оператора к диагональному виду решает вопрос о спектре величины.
Матричное представление векторов состояний и операторов предполагает, что базисные векторы ÷bñ образуют счетное множество. В часто используемом координатном представлении базисом служат векторы ÷bñ = , образующие несчетное множество.
Координатным представлением вектора состояния является волновая функция = Y(
), а не матрица-столбец. Суммирование по базисным состояниям заменяется интегрированием по всем
. Амплитуду
можно представить в виде
=
Y(
). Здесь оператор
действует на функцию Y(
), а в выражении
– на соответствующий ей вектор ÷Yñ. Одинаковое обозначение не одинаковых операторов не ведет к недоразумениям, поскольку справа от оператора расположен объект, на который направлено его действие. Результат применения обоих операторов один и тот же:
=
=
Y(
) =
= j(
).
С учетом этих соображений рассуждения, аналогичные случаю счетного множества базисных состояний, приводят к заключению, что уравнение ÷Yñ = ÷jñ в координатном представлении принимает вид
Y(
) = j(
), то есть векторы заменяются волновыми функциями. Собственные значения и собственные функции оператора
находятся из уравнения
Y(
) = FY(
). Амплитуда áYïjñ в координатном представлении вычисляется так:
áYïjñ = =
=
. (10.3)
В некоторых случаях приходится вычислять матричные элементы =
, зная волновые функции i-го и k-го состояний:
=
=
=
. (10.4)
В частности, так поступают при нахождении по формуле (9.1) среднего значения величины F в состоянии, описываемом функцией Y():
áFñ = =
. (10.5)
Запишем в координатном представлении условие самосопряженности оператора (8.4), используя формулу (10.4) для матричных элементов:
ájï úYñ = áYï
újñ*=
=
. (10.5)
Поменяв местами обкладки под интегралом, оператор следует заменить комплексно сопряженным выражением.
? Контрольные вопросы
1. Как выглядят матрицы состояний микрочастицы в ket-пространстве и в bra- пространстве?
2. Запишите квантово-механическое уравнение ÷Yñ = ÷jñ в матричном виде.
3. Запишите матрицы оператора в исходном и в сопряженном пространствах. Чем отличаются эти матрицы?
4. Какие матрицы являются самосопряженными?
5. Как выглядит матрица оператора в собственном представлении?
6. Запишите в координатном представлении уравнение для нахождения собственных значений и собственных функций оператора .
7. Как находится среднее значение величины F в состоянии Y()?
8. Запишите в координатном представлении условие самосопряженности оператора.
|
10.1. Получите уравнение = ji+.
10.2. Докажите, что матрица оператора в собственном представлении имеет диагональный вид.
10.3. Приведите уравнение ÷Yñ = ÷jñ к виду
Y(
) = j(
).
10.4. Покажите, что на множестве исчезающих на бесконечности функций операторы x и i d/dx самосопряженные, а оператор d/dx – не самосопряженный.
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 128 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Наблюдаемые | | | Операторы координат, импульсов и их функций |