Операторы

& Литература: [8], [3], [1], [7].

Во всех физических уравнениях присутствуют некоторые математические действия, производимые над величинами, характеризующими состояния описываемых объектов. Действия над математическими объектами, а также символы этих действий называют операторами. Аналогично и в уравнениях квантовой механики фигурируют операторы. Они предполагают действия над квантово-механическими векторами состояний или над амплитудами состояний, а не только над функциями и числами.

В квантовой механике за редким исключением символ оператора ставится перед тем математическим объектом, на который направлено действие оператора: úYñ = újñ; Y(x) = j(x). Примеры исключений: Y* = j;
Y² = j и др.

Оператор называют линейным, если для любых ú j₁ñ и ÷j₂ñ, а также произвольных комплексных чисел a₁ и a₂ выполняется условие:

(ú j₁ñ a₁+ új₂ñ a₂) = ú j₁ñ a₁+ ú j₂ñ a₂. (8.1)

Здесь и далее записываются соотношения для операторов, действующих на векторы состояний. Аналогичные соотношения и свойства относятся и к операторам, действующим на волновые функции. В этом случае под символом újñ следует понимать соответствующую функцию j. В квантовой механике используются только линейные операторы, поскольку их применение к векторам состояния не нарушает принцип суперпозиции: все полученные векторы, как и исходные, могут быть представлены линейной комбинацией других.

Оператор считают равным нулю, если его действие на любой вектор дает нуль-вектор újñ = ú0ñ. Нуль-вектор определяется равенством:

újñ + ú0ñ = újñ.

Единичный оператор оставляет без изменения произвольный вектор: újñ = újñ. Примером единичного оператора может служить выражение = , поскольку в случае полного базиса úe_iñ любой вектор ÷Añ можно представить в виде: ÷Añ = . Поэтому равенство = является условием полноты базиса.

Равными называют операторы = , применение которых к произвольному вектору приводит к одинаковым результатам: равенство újñ= újñ должно выполняться для любого újñ.

Аналогично алгебре чисел и функций построена и алгебра операторов.

Под суммой операторов и понимают оператор + , если для любого újñ имеет место равенство ( + )újñ = újñ + újñ. Подобно этому для произведения операторов должно выполняться соотношение ( )újñ = ( újñ). Сумма операторов коммутативна, а произведение, вообще говоря, нет: ¹ . Если же операторы коммутируют, то для них – = . Оператор [ ] = – называют коммутатором. Если коммутатор операторов равен нулю, то эти операторы коммутируют.

Все определения и соотношения для операторов , действующих в cket-пространстве, переносятся и на операторы ⁺, действующие в сопряженном пространстве. Если újñ = úY1ñ, то ájï ⁺ú= áY1ï. Оператор ⁺ называют оператором, сопряженным оператору . Для сопряженного оператора справедливо равенство ájï ⁺úYñ = áYï újñ*. (8.2)

Можно показать, что

( + )⁺ = ⁺ + ⁺ и что ( )⁺ = ^{+ +}. (8.3)

Оператор , для которого выполняется соотношение

ájï úYñ = áYï újñ*, или ájï úYñ = ájï ⁺úYñ, (8.4)

называют самосопряженным, или эрмитовым. Если поменять обкладки эрмитова оператора, то получается комплексно сопряженная величина. Последнее равенство кратко записывают в виде = ⁺. Не следует при этом забывать, что операторы и ⁺ действуют в разных пространствах.

Сумма эрмитовых и произведение эрмитовых коммутирующих операторов являются эрмитовыми операторами.

При применении оператора к вектору состояния может получиться тот же вектор, умноженный на некоторое число:

úYñ = úYñ F. (8.5)

Число F, удовлетворяющее равенству (8.5), в котором úYñ – отличный от нуля вектор состояния, называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору úYñ, а этот вектор – собственным вектором, соответствующим данному собственному значению. Если в формуле вместо вектора стоит волновая функция Y, то ее называют собственной функцией оператора , соответствующей собственному значению F.

Бывает так, что одному и тому же собственному значению F соответствует несколько линейно не зависимых векторов или функций. Тогда это значение называют вырожденным, а число соответствующих состояний – кратностью вырождения. Линейная комбинация векторов (или функций), соответствующих собственному значению F, также является собственным вектором (функцией) оператора для того же собственного значения F.

В квантовой механике используются самосопряженные операторы благодаря их свойству, выражаемому следующей теоремой. Собственные значения самосопряженных операторов действительны, а их собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Ограничимся доказательством в отсутствии вырождения. Применим определение (8.5) к собственному значению F_i, а сопряженное с (8.5) выражение – к F_j: úiñ = úiñ F_i, ájç ⁺ = F_j*ájç. (8.6)

Умножив первое равенство слева на újñ, а второе – справа на áiç, получим после вычитания и учета самосопряженности оператора :

(F_i – F_j*) ájïiñ = ájï úiñ – ájï ⁺úiñ = 0. (8.7)

Если i = j, то из (8.7) следует F_i = F_j*, а для i ¹ j равно нулю скалярное произведение ájïiñ, то есть векторы újñ и úiñ ортогональны.

На основании этой теоремы можно утверждать, что множество собственных векторов самосопряженного оператора образует ортонормированный полный базис.

? Контрольные вопросы

1. Что такое оператор? Приведите примеры операторов.

2. Дайте определение линейного оператора.

3. Какие операторы называют нулевыми, единичными, равными?

4. Дайте определение суммы и произведения операторов.

5. Что такое коммутатор?

6. Расскажите о сопряженном операторе.

7. Дайте определение самосопряженного оператора.

8.

F

Какими свойствами обладают собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора?

Дата добавления: 2015-07-11