Матричный метод оценки параметров лазерного излучения

Воспользуемся методами матричной оптики и элементами теории оптических резонаторов для оценки параметров лазерного излучения. Оценка выполняется в приближении, что внутри резонатора возбуждается основная мода ТЕМ₀₀. На рис.6.25 показано схематически устройство типового оптического резонатора с активной средой.

Основные параметры оптического резонатора: длина резонатора – L; радиусы кривизны зеркал – r₁ и r₂. Активная среда имеет длину b и показатель преломления n.

Поскольку стрежень активной среды эквивалентен плоскопараллельной пластине, матрица перемещения луча между зеркалами резонатора, содержит приведенную длину

(6.88)

Рис.6.25

С учетом приведенной длины резонатора схема устройства приобретает вид, показанный на рис.6.26.

Рис.6.26

На рис.6.26 введены следующие обозначения: P₁=2/r₁ и P₂=2/r₂ – оптическая сила зеркал резонатора; Т - приведенная длина резонатора.

Нас интересует конфигурация световых волн излучаемых через выходное зеркало З₂. Разместим опорную плоскость ОП₁ на поверхности зеркала З₂ и будем рассматривать исходный луч , который падает на ОП₁ в положительном направлении оси z после выхода из активной среды. Часть энергии излучения после отражения от выходного зеркала З₂ распространяется в обратном направлении. Излучение проходит через активную среду к зеркалу З₁ системы, затем возвращается и вновь проходит через активную среду к выходному зеркалу.

Если расположить вторую опорную плоскость ОП₂ таким образом, что она совпадает с ОП₁ то можно записать полную матрицу преобразования лучей М, связывающую опорные плоскости ОП₁ и ОП₂ и представляющую «полный проход» излучения через резонатор:

(6.89)

где A, B, C, D – постоянные оптических элементов модели резонатора (передаточные отношения оптических элементов).

Матрицу М, полученную в результате преобразований, следует проверить на равенство определителя единице, т.е. должно выполняться условие:

(6.90)

Если условие выполняется, тогда ее можно использовать в уравнении преобразования луча:

Мы фактически имеем достаточно информации для расчета одного прохода луча через данную систему.

Для того чтобы рассчитать изменение параметров луча вследствие N последовательных полных проходов через резонатор, нужно возвести полную матрицу преобразования лучей М в N–ю степень. С этой целью используем метод диагонализации матрицы:

, ,

(6.91)

Собственные значения матрицы L, т.е. l₁ и l₂ можно определить, используя след матрицы М:

(6.92)

В зависимости от значения следа матрицы М резонатор относится к группе устойчивых или неустойчивых резонаторов.

Если выполняется условие

(6.93)

система относится к группе устойчивых резонаторов, в этом случае p>Q>0 и

(6.94)

где величина Q определяется через тригонометрический косинус и след матрицы

.

(6.95)

Если система относится к группе неустойчивых резонаторов, выделяют два вида условий:

Ø , тогда , Ø , тогда ,

(6.96)

где величина t определяется через гиперболический косинус и след матрицы

.

(6.97)

Для конкретной геометрии системы, которую мы выбрали, можно определить число полных проходов (N) излучения через резонатор, для которого матрица преобразования лучей равна единичной матрице I, т.е.

(6.98)

В этом случае, какой бы параксиальный луч в резонаторе мы не выбрали, после N полных проходов через резонатор, его направление совпадает с первоначальным направлением.

Пусть М – унимодулярная матрица, с собственными значениями exp(±jQ), тогда можно записать:

(6.99)

Заменяя тригонометрические функции Q соответствующими гиперболическими функциями от t, этот же результат можно использовать для вычисления N-го прохода луча через неустойчивый резонатор:

(6.100)

Для неустойчивых резонаторов, конфигурация лазерного излучения подчиняется законам геометрической оптики. В этом случае отношения компонент собственных векторов равны и . В соответствии с приведенными выше рассуждениями эти отношения являются значениями , или значениями радиуса кривизны (R) луча, распространяющегося через резонатор без изменения. Если внутри резонатора существует волновой фронт с такой кривизной, то он будет самовоспроизводиться.

Рассмотрим теперь комплексное отношение компонент собственного вектора для устойчивого резонатора как значение q, которое определяет геометрию гауссова пучка, генерируемого в системе, если она работает в режиме возбуждения основной моды.

В соответствии с результатами, полученными выше, если матрица М описывает резонатор, и если ее два собственных значения равны exp (±jq), то значения q, сохраняющиеся при полном проходе резонатора, даются выражениями

,

(6.101)

или, что эквивалентно

,

(6.102)

причем p > Q > 0. Обращая уравнение (6.102) и учитывая (24), имеем

Из сравнения (6.102) и (6.34), получаем

и .

(6.103)

Можно показать, что отрицательная величина w², отвечающая второму собственному значению, соответствует нереальному случаю, когда энергия пучка должна была бы сильно возрастать при удалении от оси. Отбрасывая это решение и оставляя только первое собственное значение , находим характеристики основной моды гауссова пучка TEM₀₀.

Радиус пучка во второй опорной плоскости задается выражением

.

(6.104)

Поверхности постоянной фазы этого пучка имеют кривизну

.

(6.105)

Радиус перетяжки пучка равен

.

(6.106)

Конфокальным параметром пучка определяется выражение

.

(6.107)

Положение перетяжки относительно второй опорной плоскости равно

.

(6.108)

Если z>0, тогда перетяжка смещена от опорной плоскости влево иначе, если z<0 – перетяжка смещена вправо от опорной плоскости.

Половина угла расходимости Q во второй опорной плоскости (в радианах) имеет вид

Дата добавления: 2015-07-11