Читайте также:
|
Определение 4. Пусть функция y = f (x) непрерывна на [ a;b ]. Тогда она непрерывна на [ a;x ] для любого xÎ [ a;b ]. Следовательно, на [ a;b ] определена функция 
, которая называется интегралом с переменным верхним пределом.
Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.
Теорема 3. Пусть функция f (x) непрерывна на [ a;b ]. Тогда функция 
обладает свойствами:
1) непрерывна на [ a;b ];
2) имеет производную F' (x) в каждой точке x Î [ a;b ], удовлетворяющую равенству 
.
Доказательство: Вычислим приращение функции F (x), причем D x возьмем таким, чтобы точка x + D x Î [ a;b ].
Тогда 
Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении определенного интеграла. То есть на [ x; x + Dx ] существует такое число c, в котором выполняется равенство:
Значит, D F = f (c)× Dx, где c Î [ x; x + Dx ].
Если Dx ® 0, то c ® x (так как x < c < x+Dx).
Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c) ® f (x) при Dx ®0.
Таким образом, DF ®0 при Dx ®0, что доказывает непрерывность F (x).
Кроме того, вычисляя предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, получим:
То есть существует конечный предел отношения DF к Dx при Dx ®0. Что означает существование производной F' (x) = f (x).
Из этой теоремы следует, что функция является первообразной для функции f (x).
Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 165 | Нарушение авторских прав