Читайте также: |
|
Все рассмотренные способы задания закона распределения случайной величины являются неприемлемыми тогда, когда случайная величина имеет слишком много значений, которые невозможно перечислить. Для исследования закона распределения вероятностей произвольной случайной величины Х можно использовать не вероятность события Х = х, а вероятность события Х < х, где х – некоторое действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта примет значение, которое будет меньше числа х, является функцией аргумента х.
Определение 1.10Функцией распределения случайной величины Х называется функция Fx(x) действительной переменной х Î (-¥; ¥), равная вероятности того, что Х принимает значения, меньшие числа х.
Таким образом, функция распределения случайной величины Х определяется следующим соотношением:
Fx(x) = P(X < x), x Î(-¥; ¥).
В дальнейшем вероятностную функцию распределения Fx(x) мы будем называть теоретической. Иногда вместо термина «функция распределения» используется равнозначный термин «интегральная функция распределения».
Пример 1.5 Обозначим через Х число нечетных цифр в произвольном четырехзначном номере. Найдем функцию распределения случайной величины Х и построим ее график.
Очевидно, что случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятность выбора одной нечетной цифры равна 0,5, вероятность выбора четной цифры также равна 0,5. Вычислим вероятности соответствующих значений.
р0 = Р(Х = 0) = С40 (0,5)0 (0,5)4 = 0,0625
р1 = Р(Х = 1) = С41 (0,5)1 (0,5)3 = 0,2500
р2 = Р(Х = 2) = С42 (0,5)2 (0,5)2 = 0,3750
р3 = Р(Х = 3) = С43 (0,5)3 (0,5)1 = 0,2500
р4 = Р(Х= 4) = С44 (0,5)4 (0,5)0 = 0,0625
Суммирование вероятностей подтверждает условие нормированности распределения.
Пусть x Î (-¥; 0], тогда
Fx(x) = P(X < x) = P(X < 0) = 0.
При x Î (0; 1] имеем
Fx(x) = P(X < x) = P(X < 1) = Р(X = 0) = 0,0625.
При x Î (1; 2] имеем
Fx(x) = P(X < x) = P(X < 2) = P(X = 0) + Р(Х = 1) =
= 0,0625 + 0,2500 = 0,3125.
При x Î (2; 3] имеем
Fx(x) =Р(X < x) = P(X < 3) = P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,0687.
При x Î (3; 4] имеем
Fx(x) = P(X < x) = P(X < 4) =
= P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х =3) = 0,9375.
Наконец, при x (4; ) имеем
Fx(x) = P(X < x) =
= P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 1.
В итоге получается следующее выражение функции распределения:
Построим график этой функции.
Рисунок 1.2 – График функции распределения числа
четных цифр в произвольном четырехзначном номере
■
В общем случае функция распределения любой дискретной случайной величины Х находится по формуле:
Fx(x) = Σ P (X = xi),
xi < x
то есть суммируются вероятности всех значений случайной величины, которые являются меньшими числа х.
Напомним основные свойства функции распределения.
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 111 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Определение 1.7 Случайной величиной называется такая переменная Х, которая в результате эксперимента принимает единственное значение для каждого элемента генеральной совокупности. | | | Плотность распределения вероятностей |