Определение 1.7 Случайной величиной называется такая переменная Х, которая в результате эксперимента принимает единственное значение для каждого элемента генеральной совокупности.

Таким образом, случайная величина Х является числовой функцией, определенной на множестве элементов генеральной совокупности. Значения случайной величины зависят от многих случайных факторов и выясняются только по завершении опыта.

Подчеркнем, что множество значений случайной величины Х само является генеральной совокупностью, а любая случайная выборка из генеральной совокупности отождествляется с определенным подмножеством значений случайной величины Х, полученных в результате конечной серии наблюдений. Такая замена реальных объектов числовыми значениями дает возможность для развития и широкого использования аналитических методов математической статистики.

В теории вероятностей и математической статистике принято выделять одномерные и многомерные случайные величины. При исследовании только одного свойства генеральной совокупности результат единичного эксперимента характеризуется одним числовым значением, и соответствующая случайная величина считается одномерной. Если же результат эксперимента характеризуется несколькими числовыми значениями, то соответствующая случайная величина называется многомерной. Далее мы будем рассматривать только одномерные случайные величины.

Определение 1.8Случайная величина, имеющая конечное или счетное число значений, называется дискретной.

Полное описание любой случайной дискретной величины включает в себя перечисление не только множества ее возможных значений, но и соответствующих вероятностей этих значений.

Пример 1.2 Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,9. Обозначим через Х число попаданий в мишень.

Очевидно, что случайная величина Х может принимать три значения: 0, 1, 2. Вычислим вероятность каждого возможного значения:

Р(Х = 0) = 0,3 · 0,1 = 0,03

Р(Х = 1) = 0,7 · 0,1 + 0,3 ∙ 0,9 = 0,34

Р(Х = 2) = 0,7 · 0,9 = 0,63

Занесем все значения случайной величины Х и соответствующие вероятности в следующую таблицу.

Таблица 1.1 – Распределение вероятностей числа попаданий в мишень

Х
Р	0,03	0,34	0,63

■

Определение 1.9Совокупность всех возможных значений дискретной случайной величины Х и соответствующих им вероятностей называется законом распределения вероятностей случайной величины.

Более кратко закон распределения вероятностей называют просто распределением случайной величины Х. Часто распределение вероятностей задается таблицей, содержащей все возможные значения случайной величины Х и соответствующие вероятности этих значений.

Таблица 1.2 – Закон распределения вероятностей случайной дискретной величины Х

Х	х 1	х 2	…	хn	…
Р	р1	р2	…	р n	…

Очевидно, что сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины Х равна 1:

р₁ + р₂ + … + р _n + … = 1.

Это свойство называется условием нормированности распределения.

Однако более удобно закон распределения вероятностей дискретной случайной величины выражать некоторой функцией, позволяющей найти вероятность реализации каждого конкретного значения случайной величины Х.

Пример 1.3 Монета бросается семь раз. Обозначим через Х число появлений герба. Найдем закон распределения случайной величины Х.

Очевидно, что случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. При этом вероятность того, что значение переменной Х равно k вычисляется по формуле Бернулли:

P(Х = k) = P₇(k) = С₇ ^k (0,5) ^k (0,5)^{7- k},

где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Данная функция полностью определяет распределение вероятностей случайной величины Х.

■

В некоторых случаях используется графическое изображение закона распределения вероятностей случайной величины. Для этого на оси абсцисс отмечаются все значения случайной величины х ₁, х ₂, …, х_n, а на оси ординат откладываются соответствующие вероятности р₁, р₂, …, р _n. Затем точки с координатами (х ₁; р₁), (х ₂; р₂), …, (х_n; р _n) последовательно соединяются отрезками. Полученная ломаная линия называется многоугольником распределения вероятностей.

Графическое изображение закона распределения позволяет получить визуальное представление об исследуемой зависимости. С помощью графика можно заметить основные тенденции варьирования значений случайной величины. Особенно полезны графики в тех случаях, когда нужно показать постоянство некоторых характеристик закона распределения.

Пример 1.4 Построим многоугольник распределения вероятностей для случайной величины Х по данным предыдущего примера 1.3.

Прежде всего, вычислим вероятность каждого возможного значения:

р₀ = Р(Х = 0) = С₇⁰ (0,5)⁰ (0,5)⁷ = 0,0078125

р₁= Р(Х = 1) = С₇¹ (0,5)¹ (0,5)⁶ = 0,0546875

р₂ = Р(Х= 2) = С₇² (0,5)² (0,5)⁵ = 0,1640625

р₃ = Р(Х= 3) = С₇³ (0,5)³ (0,5)⁴ = 0,2734375

р₄ = Р(Х = 4) = С₇⁴ (0,5)⁴ (0,5)³ = 0,2734375

р₅ = Р(Х = 5) = С₇⁵ (0,5)⁵ (0,5)² = 0,1640625

р₆ = Р(Х = 6) = С₇⁶ (0,5)⁶ (0,5)¹ = 0,0546875

р₇ = Р(Х = 7) = С₇⁷ (0,5)⁷ (0,5)⁰ = 0,0078125

Проверка показывает, что сумма вероятностей всех значений равна 1.

Округлим значения вероятностей:

р0 = 0,008	р1 = 0,055	р2 = 0,164	р3 = 0,273
р4 = 0,273	р5 = 0,164	р6 = 0,055	р7 = 0,008

Выполним построение многоугольника распределения вероятностей.

y

Рисунок 1.1 – Многоугольник распределения вероятностей

для числа появления герба при семикратном бросании монеты

■

Дата добавления: 2015-10-21