Первообразная

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Как для некоторых функций существуют обратные функции, так и для производной существует обратная. В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения: например,

§ возведение в квадрат и извлечение квадратного корня ;

§ синус и арксинус и т.д.

Для производной функции обратная – первообразная. Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е. процесс отыскания функции по заданной производной — интегрированием.

Определение: Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех из выполняется равенство .

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции.

Для того, чтобы доказать, что функция является первообразной функции на промежутке , нужно показать, что для всех из этого промежутка выполняется равенство (т.е. воспользоваться определением).

Примеры:

1. Докажите, что является первообразной для функции

Полученное равенство верно для всех действительных значений х.

2. Докажите, что является первообразной для функции на R

Полученное равенство верно для всех действительных значений х.

Задание 1: Докажите, что является первообразной для функции

Задание 2: Докажите, что является первообразной для функции

а) б)

в) г)

Основное свойство первообразной.

Определение 1: Если одна из первообразных функции на заданном промежутке , то любая первообразная функции на этом промежутке имеет вид .

Определение 2: Если первообразная для функции на заданном промежутке , то у функции бесконечно много первообразных и все они имеют вид .

Таблица первообразных.

Правила нахождения первообразных.

При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы (таблица), но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

Правило 3: Если первообразная для функции на заданном промежутке , то функция есть первообразная для функции

Пример. Найти первообразную функции , график которой проходит через точку М(1; -1)

Задание 3: Найдите одну из первообразных функции

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

Задание 4: Найдите общий вид первообразных функции

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

л) м)

н) о)

п) р)

Задание 5: Найти первообразную функции , график которой проходит через точку М

а) б)

в) г)

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Теорема: Если - первообразная для функции на промежутке I, то у функции бесконечно много первообразных и все они имеют вид

Определение: Если функция имеет на промежутке I первообразную , то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида , называют неопределенным интегралом от функции и обозначают:

(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).

Таблица интегралов.

8.

9.

10.

11.

Правила интегрирования.

Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Правило 3. Если , то

Задание 6: Найти неопределенные интегралы:

а) ; б) ; в)

Основные методы интегрирования.

Дата добавления: 2015-10-16