Читайте также:
|
|
С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.
Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси или . Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:
1. По условию задачи делают схематический чертеж.
2. Представляют искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.
3. Записывают каждую функцию в виде
4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
Площади фигур, расположенных над осью
Пример1. Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями: x = 25, и y = 0 (рис.4)
Решение. Для любого функция принимает положительные значения; поэтому для вычисления площади данной криволинейной трапеции следует воспользоваться формулой
= dx = x1/2 = 2
Рис.4
Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью
Пусть на отрезке [a,b] задана неположительная непрерывная функция .
Если фигура, расположенная под осью ОХ, является криволинейной трапецией, то её площадь вычисляется по формуле
или
где
Пример 2.
Решение: На отрезке [0,3] функция
Пусть функция
отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок [a,b] на такие части, в каждой из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить.
Пример 3.
Решение: Парабола пересекает ось абсцисс в точках Фигура, площадь которой требуется найти, отмечена цветом на рисунке 5.
рис.6 рис.7
рис. 5
Пусть S1 и S2 - площади частей этой фигуры, соответствующих отрезкам[0,4] и [4,5], а S- искомая площадь; тогда S=S1 + S2.
(кв.ед)
Следовательно, S= =13(кв.ед)
Площади фигур, прилегающих к оси
Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой , то ее площадь вычисляется по формуле
Пример 4.
Решение. Данная фигура есть криволинейная трапеция, прилегающая к оси . Пределами интегрирования по являются значения Запишем данную функцию в виде .
Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 214 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Пример 1. | | | Самоорганизация – это когда САМ ищешь дело и САМ берёшь ответственность за это дело. |