Наближені методи розв’язку рівнянь.

1 метод хорд:

Нехай знайдено початковий інтеграл , в якому лежить тільки один простий корінь рівняння та виконані умови .Розглянемо графік функції . Нехай , .

Проведемо хорду, яка проходить через та

/

Запишемо рівняння хорди АВ:

За наближене значення шуканого кореня приймемо абсцису точки перетину хорди АВ з віссю . Тобто, якщо покласти та ,маємо

*

Це дає нам перше наближення кореня - перетин хорди з віссю O . Далі будуємо хорди до того з відрізків або , на кінцях якого функція має протилежні знаки, отримаємо друге наближення і т.д.

Для збіжності процесу необхідно, щоб друга похідна зберігала знак на відрізку .Нехай, наприклад, . Тоді крива буде опуклою вниз,а це означає, що вона розташована нище своєї хорди АВ. Можливі два випадки: 1) та 2) .У першому випадку кінець нерухомий, а початкове наближення .У другому – нерухомий кінець ,а початкове наближення .Тому нерухомий той кінець,для якого знак функції співпадає зі знаком її другої похідної .

Нехай в якості нерухомого кінця буде , тоді:

Якщо , то покласти ;

Якщо , то покласти ;

Наступні наближені значення кореня знаходимо за формулою

,

Послідовність чисел прямує до шуканого кореня рівняння . Обчислення наближених значень кореня слід проводити, поки не буде досягати задана точність А саме,ітераційний процес завершуємо, якщо і за наближене значення кореня приймає

Метод дотичних (Ньютона)

Нехай знайдено початковий інтеграл в я кому лежить тільки один простий корінь рівняння та виконані умові . Причому та - неперервні та зберігають знаки .В якості вибирають той кінець інтервалу ,для якого .Виберемо та проведемо дотичну до кривої в точці

У якості першого першого наближення кореня приймаємо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю .Через точку проводимо дотичну, абсциса точки перетину якої знов дає нам друге наближення кореня і т.д. Рівняння дотичної в точці має вигляд

Якщо покласти , отримаємо ітераційну формулу

,

Якщо задана точність обчислень , то ітераційний процес завершуємо, коли а за наближене значення кореня приймаємо .

Метод простої ітерації

Щоб знайти корені рівняння замінимо його рівносильним Виберемо початкове наближення і послідовно обчислимо наближення

Збіжність послідовності забезпечується відповідним вибором функції і початкового наближення Нехай - корінь рівняння який належить відрізку . Якщо для , то послідовність збігається до кореня . Якщо задана точність обчислень то ітераційний процес завершуємо, якщо , а за наближене значення кореня приймаємо

Дата добавления: 2015-08-21