Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод псевдообратной матрицы

Читайте также:
  1. I. ОРГАНИЗАЦИОННО - МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  2. I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  3. I. Что такое проективные методики
  4. II. Організаційно-Методичні Рекомендації
  5. II. Отнесение опасных отходов к классу опасности для окружающей природной среды расчетным методом
  6. III. Комбинированный метод
  7. III. Отнесение опасных отходов к классу опасности для окружающей природной среды экспериментальным методом

 

Для прямоугольных платежных матриц обратная матрица, в обычном смысле, не существует, поэтому для вычисления вероятностей стратегий и цены игры применяют обобщенные обратные матрицы – псевдообратные матрицы. Для прямоугольных матриц полного ранга размера (), где m – число строк, n – число столбцов, формулы вычисления псевдообратной матрицы имеют следующий вид:

 

.

 

Число строк m и число столбцов n при транспонировании меняются местами: в транспонированной матрице n – число строк, m – число столбцов. Это необходимо учитывать при определении формул для вычисления псевдообратной матрицы.

Применение псевдообратной матрицы, для вычисления векторов и , дает также единственное решение игровой задачи . Это решение, однако, является более точным решением, чем найденное методом обратной матрицы в задаче с удалёнными дублирующими и доминирующими строкам и столбцами, поскольку применяется для полной исходной платежной матрицы.

Методику применения методов обращения платежных матриц рассмотрим на примере.

Пример. [Кремер, стр. 191] Поставщик может поставлять три вида продукции: А 1, А 2 и А 3, получая при этом прибыль, зависящую от состояния спроса В 1, В 2, В 3 и В 4. В таблице 1 даны коэффициенты , характеризующие прибыль в условных единицах, которую получит поставщик, поставляя продукцию , если состояние спроса .

 

Таблица 1.

  B 1 B 2 B 3 B 4
A 1 3,0 3,0 6,0 8,0
A 2 9,0 10,0 4,0 2,0
A 3 7,0 7,0 5,0 4,0

 

Требуется определить оптимальную стратегию поставок продукции, гарантирующую среднюю прибыль при любом спросе.

Решение. Рассмотрим процедуры вычисления оптимальных стратегий (пропорций) А 1, А 2, А 3 и В 1, В 2, В 3, В 4 двумя методами: методом обратной матрицы и методом псевдообратной матрицы, и сравним найденные решения.

1. Решим задачу методом обратной матрицы. Игровая модель задачи задается платежной матрицей размера :

 

  B 1 B 2 B 3 B 4  
  3,0 3,0 6,0 8,0 А 1
A= 9,0 10,0 4,0 2,0 А 2
  7,0 7,0 5,0 4,0 А 3

 

Очевидно, что дублирующих стратегий у игроков нет. Стратегия В 2 доминирует стратегию B 1. Это означает, что для игрока В стратегия В 2 невыгодна (средний проигрыш больше), поэтому столбец В 2 можно удалить. У игрока А доминирующих строк нет. В результате удаления столбца В 2, получаем квадратную платежную матрицу A размера :

 

  B 1 B 3 B 4  
  3,0 6,0 8,0 А 1
A= 9,0 4,0 2,0 А 2
  7,0 5,0 4,0 А 3

 

Обратная матрица равна:

 

  0,273 0,727 -0,909
-1,000 -2,000 3,000
  0,773 1,227 -1,909

 

Найдем вспомогательный вектор :

 

0,045 -0,045 0,182

 

где .

По определению , поэтому принимаем :

 

0,045 0,0 0,182

 

и вычисляем сумму :

= 0,227.

 

Находим оптимальные вероятности (частоты) применения своих стратегий стороной А:

0,20 0,00 0,80

 

где учтено, что цена игры равна:

 

4,40.

 

Таким образом, гарантированный средний выигрыш игрока А, найденный методом обратной матрицы, составляет 4,40 условных единицы, при поставке 20% продукции А 1 и 80% продукции А 3, при любом спросе В j.

 

2. Найдем решение методом псевдообратной матрицы. Полный ранг прямоугольной платежной матрицы должен быть равен меньшему значению из чисел m и n. В рассматриваемой задаче число строк m = 3, число столбцов n = 4, = m + n – 1= 3 + 4 – 1= 6.

Поскольку , псевдообратная матрица вычисляется по формуле:

 

,

 

где: матрица – транспонированная матрица :

 

  A1 A2 A3
  3,0 9,0 7,0
AT = 3,0 10,0 7,0
  6,0 4,0 5,0
  8,0 2,0 4,0

 

произведение платежной матрицы и транспонированной :

 

       
  118,0 97,0 104,0
A AT = 97,0 201,0 161,0
  104,0 161,0 139,0

 

обратная матрица :

 

  0,439 0,710 -1,151
(A AT) -1 = 0,710 1,216 -1,940
  -1,151 -1,940 3,115

 

псевдообратная матрица :

 

  -0,350 -0,504 0,895
A+ = 0,360 0,713 -1,045
  -0,279 -0,575 0,911
  0,331 0,353 -0,627

 

Найдем вспомогательный вектор :

 

0,062 -0,013 0,134

 

По определению , поэтому принимаем :

 

0,062 0,00 0,134

 

и вычисляем сумму :

= 0,196.

 

Находим оптимальные вероятности (частоты) применения своих стратегий стороной А:

0,315 0,00 0,685

 

где учтено, что цена игры равна:

 

5,098.

 

Таким образом, гарантированный средний выигрыш игрока А, найденный методом псевдообратной матрицы, составляет 5,098 условных единицы, при поставке 31,5% продукции А 1 и 68,5% продукции А 3, при любом спросе В j.

Очевидно, что точное решение игровой задачи методом псевдообратной матрицы дает большее значение гарантированного среднего выигрыша 5,098 > 4,40 на 13,7%, за счет большей на 6,5% поставки продукции А 1 и меньшей на 6,5% поставки продукции А 3.

 

 


Дата добавления: 2015-09-03; просмотров: 91 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод обратной платёжной матрицы| Двойственность задач линейного программирования

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)