Октябрь 2012

№50.

Условие: для равнобедренного треугольника ABC с основанием AC построена вневписанная окружность, касающаяся прямых AB и AC на продолжении соответствующих им сторон. Точка касания со стороной BC- D; CC1-высота треугольника. Известно, что CD=CC1. Пусть CC1=h.

Доказать: радиус вписанной окружности треугольника ABC больше величины h/4.

4 октября

№51.

Условие: на прямой AC, содержащей основание равнобедренного треугольника ABC, выбрана точка E (на продолжении стороны AC за точку C), так что отрезок CE равен высоте треугольника CC1. Высота BB1 пересекает отрезок EC_1 в точке F.

Доказать: BC1=BF.

4 октября

№52.

Условие: дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. На гипотенузе AC взята середина D, на катетах AB и BC взяты точки E и F, такие, что AE=DE и DF=FC. Середина отрезка EF –G.

Доказать: AG=GC.

5 октября

№53.

Условие: дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вневписанная окружность касается продолжений сторон AC и AB в точках E и F соотвественно.

Прямая BJ, соединяющая вершину B треугольника с центром этой окружности, пересекает отрезок EF в точке H.

Доказать: BE=BH.

5 октября

№54.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Середины сторон BC, AC и BC- D, E и F соответственно. Медиана AD. Точка E отражена симметрично относительно этой медианы, получена точка E’. Доказать: отрезок FE’ параллелен AD.

6 октября

№55. Задача на построение.

Условие: вокруг квадрата описана окружность с центром O, середины дуг AB и BC- E и F соответственно, проведены отрезки CE и CF, пересекающие стороны AB и BC в точках G и H соответственно.

Построить одной линейкой диаметр KL, так, что прямые KG и LH пересекаются на окружности, описанной около квадрата, причём KL не проходит ни через G, ни через H.

8 октября, утро

№56.

Условие: на стороне AC треугольника ABC отмечена произвольная точка D, и около треугольников ABD и CBD описаны окружности с центрами O_1 и O_2 соответственно.

Доказать: прямые AO_1 и CO_2 пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

11 октября, утро

№57.

Условие: прямоугольные треугольники ACB и DCE с прямым углом C и точками C, B, E на одной прямой. Окружность, описанная около треугольника DCE, пересекает AB в его середине F. Прямая DB пересекает окружность в точке H.

Доказать: углы FHE и ABE равны.

13 октября, вечер

№58.

Условие: две окружности с центрами O_1 и O_2, касающиеся внешним образом. Проведены общие касательные AB и DE. Известно, что точка пересечения диагоналей C четырёхугольника O_1ABO_2 лежит на окружности с центром O_1.

Найти: отношение радиусов окружностей. 18 октября, библиотека ГПИБ, вечер после 18:00 (до 20:00).

№59.

Условие: равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC (меньшее в общем случае) и AD с точкой пересечения диагоналей O, вокруг треугольника BOC описана окружность, пересекающая AB в точке E. Прямая CE пересекает прямую AD в точке H. Угол BAD равен a.

Доказать: площадь треугольника HAE равна ½*AD*HE*sina.

Дата добавления: 2015-08-13