Ноябрь 2011

№46. Условие: четырёхугольник ABCD-вписанный. Прямая, параллельная CD, пересекает стороны AD и BC в точках E и

F соответственно. Прямые AF и BD пересекаются в точке H, прямые AC и BE- в точке I.

Доказать: HI параллелен CD.

4 ноября

№47. Условие: равнобедренный треугольник ABC. Из середин сторон AB и BC- D и E соответственно- восстановлены серединные перпендикуляры, пересекающие сторону AC в точках F и G соответственно. Проведены радиусы OA и OC. Проведены прямые BF и BG, пересекающие их соответственно в точках H и I. J- середина AC.

Доказать: I,J,D лежат на одной прямой.

4 ноября

№48. Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B; средняя линия DE (середины лежат на катетах). BF- высота, пересекает DE в точке G, на средней линии взята точка H так, что HE=DG.

Доказать: AH=CH.

6 ноября

№49. Условие: треугольник ABC- равнобедренный (AB=BC). На стороне AB взята произвольная точка D. В треугольник BDC вписана окружность с центром K.

Доказать: A, D, K, С лежат на одной окружности.

(комментарий: вроде 2 января 2012 последняя версия, но начало конца 2011)

№50. Условие: треугольник ABC; медиана BD; на ней взята точка E, такая, что угол DCE равен углу DBC; Проведены прямые CE и AE, пересекающие стороны AB и BC в точках F и G соответственно.

Доказать: FG параллелен стороне AC.

№51. Условие: остроугольный равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Из B проведены два луча, образующие равные углы с боковыми сторонами треугольника и пересекающие продолжения AC в точках D и E, так, что угол DBE равен углу BAC. В треугольнике BDC проведена высота DF, пересекающая высоту BG в точке O.

Доказать: O- центр описанной окружности DBE.

Предположительно декабрь 2011

№52. Условие: равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с вершиной B. На стороне AC взята точка D и на AD как на катете построен равнобедренный прямоугольный треугольник ADE.

Доказать: прямая AD делит EC пополам.

Декабрь 2011

Год.

Январь 2012.

№1.

Условие: в равнобедренной трапеции ABCD (ΑΒ=CD) проведена высота BG, и на боковых сторонах трапеции AB и CD отмечены их середины- E и F соответственно. Угол EBF-неострый.

Доказать: BG<(BC+AD)/2.

10 января и 16 января

№2.

Доказать, что существует вписанный четырёхугольник, который можно разрезать на три попарно неравных подобных равнобедренных треугольника.

Редакция 31 августа 2012; редакция сентября 2012.

№3.

Условие: в окружности с центром O проведён диаметр AB, на ней взяты точки С и E, из них опущены перпендикуляры на диаметр AB- CD и EF соотвественно, причём CD=2EF. Отрезок BE пересекает CD в точке G. Через С проведена хорда CH, равная CD.

Доказать: A,G,H лежат на одной прямой.

Февраль 2012.

№4. Задача на построение.

Условие: дана окружность без центра, хорда AB, произвольная точка C на этой хорде, из C восстановлен перпендикуляр, пересекающий окружность в точке D, причём CD- больший из двух возможных. Построить циркулем и линейкой за два шага такую точку E на дуге AB, что EF, перпендикулярная AB, высекала бы на окружности хорду, равную CD.

№5. Условие: на сторонах BC и AD прямоугольника ABCD взяты точки A1,B1,C1,D1 (соответственно A1 и D1 на стороне AD, B1 и С1- на стороне BC), являющиеся вершинами квадрата, причём его центр совпадает с центром прямоугольника); прямая A1C1 пересекает прямую AB в точке Ε, прямая B1D1- CВ в точке F. Отрезок С1E пересекает диагональ BD в точке G.

Доказать: точки E,D1,G лежат на одной прямой.

№6. Условие: дан прямой угол A, в него вписана окружность. В окружности проведены два перпендикулярных радиуса- OB и OC, касательная в точке B пересекает один из лучей в точке D, а касательная в точке С пересекает другой луч в точке E.

Доказать: D,O,E лежат на одной прямой.

23 февраля

Март 2012.

№7. Условие: четырёхугольник ABCD. Вокруг треугольников BCD и ABD описаны окружности, пересекающие AD и BC в точках E и F соответственно (соотвественно окр.1 и окр.2); окр.2 пересекает диагональ четырёхугольника AC в точке G; DF пересекает CE в точке H; окр.1 пересекает диагональ AC в точке I; BE пересекает AF в точке K.

Доказать: KI||GH.

17 марта и 23 марта

№8.

Условие: вне окружности с центром O взята точка A, такая, что касательные к окружности из неё AB и AC образуют угол в 45 градусов; AO пересекает окружность в точке G. Точка D на AB, такая, что OB=BD; около ADC описана окружность, пересекающая первую окружность в точке E, а AO- в точке F; O1- центр этой окружности.

Доказать: 1) C,G,D лежат на одной прямой; 2) OF=EF; 3) OO1|| AB.

1) 22 января 2) 30 марта 3) 31 марта.

Апрель 2012

№9.

Условие: стороны прямоугольника ABCD относятся как 2:3 (BC:CD=2:3); на CD взята точка E так, что BC=CE. F-середина AD; проведены отрезки BF, CF, BE и AG: BG-перпендикуляр из B на CF, AE пересекает BF в точкеI, BE пересекает AG в точке K; IK пересекает BC в точке N.

Доказать: 1) AE- биссектриса угла GAD 2)N,G,E лежат на одной прямой.

6,7,8 апреля

№10.

Условие: на основании AD равнобедренной трапеции ABCD отмечена середина E; вокруг треугольника ABE описана окружность, пересекающая CE в точке F, BF продолжен до пересечения с прямой AD в точке L, около EFL описана окружность с центром Ο. Диаметр FF1 пересекает прямую AD в точке K, AF пересекает линию симметрии трапеции в точке J. Высота трапеции BΜ пересекает прямую LO в точке P, а линию симметрии трапеции– в точке Q; AG- диаметр.

Доказать: 1) JK||BF; 2) P,G,F,Q лежат на одной окружности

6-8, 15 апреля

№11.

Условие: окружность с центром O; из точки A вне окружности проведены касательные к окружности AB и AC; OA пересекает окружность в точке D; DE- касательная, E принадлежит AB; OE пересекает BC в точке F; BC пересекает AO в точке G. Точка B1, диаметрально противоположная B, соединенная с D, отрезок DB1 пересекает BC в точке H.

Доказать: CH=2FG.

20 апреля

№12.

Условие: в треугольнике ABC проведены высоты CD и AE, пересекающиеся в точке H; на стороне BC взята её середина G, проведены отрезки DG и EG. Биссектрисы углов DGE и ABC пересекаются в точке K.

Доказать: HK перпендикулярен BK.

22 апреля

№13. Задача на построение.

Условие: некоторая прямая пересекает стороны AB и BC треугольника в точках E и F; надо построить точку касания окружности со стороной AC, которая бы не только касалась стороны AC, но и пересекала бы AB и BC в таких точках G и H, что GH параллелен EF.

30 апреля 2012

Май 2012

№14.

Условие: в треугольнике ABC отмечен центр вписанной окружности I, проведены отрезки CI,BI, AI, так, что отрезок CI численно равен произведению AI*BI, из I опущен перпендикуляр ID на BC.

Доказать: если CD=a, SABC>3a/2.

№15.

Условие: равнобедренный треугольник ABС, на стороне BC взята точка D так, что перпендикуляр к BC в этой точке пересекает AB в такой точке E, что DE=AE.

Найти: угол DAC.

6 мая

№16.

Условие: треугольник ABC- остроугольный; проведены высоты AA1, BB1, CC1, ортоцентр H. Около треугольника AHB описана окружность с центром O1.

Доказать: вершина С, центр окружности Эйлера E и O1 лежат на одной прямой.

8 мая.

Июнь 2012

№17.

Условие: в окружности с центром O проведены хорда AB, диаметр AC хорда BC; в сегмент, ограниченный AB и меньшей дугой окружности, вписана окружность с центром I; прямая CI пересекает меньшую окружность в точке D, большую - в точке E. К меньшей окружности в точке D проведена касательная, пересекающая хорду AB в точке F; на меньшей дуге окружности BE взята середина G, прямые FI и CG пересекаются в точке H; BD пересекает FH в точке J. Точка касания меньшей окружности и хорды AB- K. На CH выбрана точка L, такая, что, если провести перпендикуляр из I на прямую FL-IM, то угол ILM равен углу MBJ.

Доказать: FD, BH и KM пересекаются в одной точке.

1-4 июня

№18.

Условие: треугольник ABC, для которого BC=(AB+AC)/2. Высоты BB1 и CC1, ортоцентр H, точка Нагеля N.

Доказать: HN является биссектрисой угла B1HC (вариант задачи: N лежит на биссектрисе угла B1HC).

2 июня

№19.

Условие: две окружности касаются внутренним образом в точке A; центры их- O1 и O2 (первая-меньшая, вторая-большая), на касательной к окружностям в точке отмечена точка N, из N проведена касательные к большей и меньшей окружности- NC и NB соответственно; прямая BC пересекает прямую NO1 в точке L, NO1 пересекает большую окружность в точках K и P.

Доказать: PL=LK. На основе темы 2011, никуда не вошедшей.

6 июня

№20.

Условие: вокруг квадрата описана окружность с центром O, проведены диагонали AC и BD;; на дуге CD взята произвольная точка G и в ней к окружности проведены касательная. Диагонали BD и AC пересекают её в точках E и H соответственно. Из E проведена вторая касательная к описанной окружности, точка касания- F. BF пересекает диагональ AC в точке I.

Доказать: углы GID и IHD равны

7 июня на основе темы 2011

№21.

Условие: квадрат ABCD. Дуга окружности с радиусом, равным стороне квадрата, с центром в точке С, заключённая между сторонами квадрата. К ней проведена произвольная касательная, пересекающая стороны AD и AB в точках E и F соответственно. Диагональ BD. Отрезок CF, пересекающий её в точке G. EG пересекает CM в точке K; CE пересекает BD в точке L.

Доказать: F,K,L лежат на одной прямой.

№22.

Условие: ABCD-вписанный и не является прямоугольником; его противолежащие стороны AB и DC продолжены до пересечения в точке E; BC и AD продолжены до пересечения в точке F; в треугольнике AED отмечен цент вписанной окружности I; из точки F проведён луч, делящий угол AFB в отношении 1:3.

Доказать: этот луч перпендикулярен биссектрисе угла AID.

10 июня, решая задачу Скутина

№23.

Условие: треугольник ABC. Из середин сторон AB и BC- D и F соответственно восстановлены перпендикуляры к ним, пересекающие сторону AC в точках E и G соответственно. Центр описанной окружности O соединён с вершинами A и C. Точки пересечения прямых BE и BG с радиусами OA и OC соответственно- H и I; OB пересекает AC в точке J; IJ и HJ пересекают прямые OD и OF в точках K и L соответственно.

Доказать: OB, KL и DF пересекаются в одной точке. 13 июня.

№24.

Условие: диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке E. С центром в точке E построена окружность так, что они находится внутри треугольника. Из вершин C,D,A проведены касательные к окружности CF,DG, AH; СF пересекает DG в точке I, EI пересекает AD в точке J; прямые AH и CF пересекаются в точке L.

Доказать: отрезок LJ перпендикулярен AD.

19 июня, редакция сентября 2012

№25.

Условие: на сторонах треугольника с периметром p построены произвольные неостроугольные треугольники.

Доказать: периметр треугольника, вершинами которого являются вершины этих треугольников, отличные от вершин данного, меньше 3p/2.

24 июня

№26.

Условие: в треугольнике ABC проведена высота AD, биссектрисы треугольников BDA и CDA- AE и AF соответственно (E принадлежит BD, F- CD).

Доказать: биссектриса угла A проходит через центр описанной окружности EAF.

24 июня

№27.

Условие: на сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены их середины- D и E соответственно, к ним проведены серединные перпендикуляры OD и OE (O-центр описанной окружности), они пересекают сторону AC в точках F и G соответственно; на BG взята точка H так, что BF=BH.

Доказать: F,H,G и O лежат на одной окружности.

26 июня, на основе темы 8 ноября 2011

Июль 2012

№28.

Условие: в треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1, отмечен ортоцентр H; проведена прямая l, параллельная AC, пересекающая отрезок от H до этой же стороны; относительно неё отражён ортоцентр и получена точка H’. Точка пересечения прямой l и высоты CC1- точка D, прямая AH’ пересекает прямую l в точке E, прямая DH’ пересекает прямую AC в точке F, отрезок FB пересекает прямую l в точке J, JH пересекает CE в точке K.

Доказать: JK перпендикулярен BE.

13 июля, Николина Гора

№29. Задача на построение.

Условие: на стороне AB треугольника ABC как на хорде построена окружность; найти такую точку на ней внутри треугольника, чтобы касательная, проведённая к окружности в этой точке, отсекала бы на сторонах BC и AC такие точки D и E, что A,B,D,E лежат на одной окружности

20 июля, Николина Гора

№30.

Условие: чевиана BD в треугольнике ABC, центры описанных окружностей треугольников ABD и CBD- O1 и O2 соответственно, высота BE.

Доказать: площадь четырёхугольника EO1BO2 равна половине площади треугольника ABC.

21 июля, Николина Гора

Август 2012

№31. Условие: угол с вершиной A; на отрезке луча AB как на диаметре построена полуокружность с центром O, пересекающая другой его луч в точке E; из некоторой точки C луча AE проведена касательная к окружности CD. AD пересекает BE в точке F,OD пересекает BE в точке G, СF пересекает AG в точке H, касательная к окружности в точке A пересекает прямую CD в точке I; AG продолжен до пересечения с окружностью в точке J; IH пересекает OJ в точке K;

Доказать: углы AKO и OID равны

12 августа на основе темы 2011

№32.

Условие: равносторонние треугольники ABC и CDE, у которых вершины A,C,E лежат на одной прямой, а все другие вершины лежат по одну сторону от отрезка AE; около треугольников х-описаны окружности, пересекающиеся в точке F. Центры описанных окружностей O1 и O2- соответственно в порядке, в котором треугольники даны в условии.

Доказать: 1)A,F,D лежат на одной прямой; 2) Пусть O1O2 пересекает AD в точке K; тогда AK=BF

13 августа, Москва, до 14:00

№33.

Условие: в треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1,CC1, на окружности, описанной около треугольника ABC, отмечена произвольная точка M (при условии, что она не принадлежит ни одной прямой, содержащей высоту; в последнем случае одна из окружностей вырождается в прямую).

Доказать: окружности, описанные около треугольников MAA1,MBB1 и MCC1, пересекаются в одной точке.

25 августа

№34.

Доказать, что если один из углов треугольника равен p/6, то отрезки, соединяющие центр его окружности Эйлера с концами стороны, противолежащей этому углу, перпендикулярны.

29 августа

Сентябрь 2012

№35.

Условие: вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность; проведены высоты AA1 и BB1, отрезок A1B1 пересекает окружность в точках D и E. BC=a, угол BAC=b, BB1=h0.

Доказать: 1)DE= 2sqrt((a-ho)*(acos^2b+hosin^2b))

1 сентября

№36.

Условие: вокруг треугольника ABC описана окружность с центром O. Через центр описанной окружности проведена прямая, отсекающая на сторонах BC и AC такие точки D и E, что A, B, D, E лежат на одной окружности. BD=a, CD=b.

Найти: радиус окружности.

2 сентября

№37.

Условие: равнобедренный треугольник с углом при общей вершине боковых сторон p/6. Центры описанной окружности и окружности Эйлера- O и E соответственно.

Найти: угол OAE.

4 сентября

№38.

Условие: в треугольнике ABC проведена биссектриса BD, в точке D к стороне AC восстановлен перпендикуляр, на нём выбрана точка E, из которой эта сторона видна под прямым углом.

Доказать: основание биссектрисы треугольника AEC, проведённой из точки E, совпадает с основанием симедианы треугольника ABC. 6 сентября, вечер

№39..

Условие: окружность, хорды BA и BC; известно, что угол ABC= b, а BA+BC= a. Хорда BD, делящая угол ABC пополам.

Найти: длину этой хорды через a и b.

6-7 сентября

№40.

-Условие: в треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1, построена окружность Эйлера. Из ортоцентра H опущены перпендикуляры на стороны ортотреугольника A1C1, A1B1 и B1C1- K,M и L соответственно, и их основания соединены с вершинами треугольника.

Доказать: окружность, описанная около треугольника, образованного серединами отрезков AL, BK и CM, концентрична окружности Эйлера и содержит её.

7-8 сентября

№41.

Условие: в четырёхугольнике известно, что две противолежащие стороны равны и суммы квадратов противолежащих сторон также равны.

Доказать, что две равных стороны этого четырёхугольника будут видны из точки, равноудалённой от концов одной диагонали на одно расстояние и от концов другой- на другое, видны под прямым углом.

8 сентября

№42.

Условие: вписанный четырёхугольник ABCD; из B и C опущены перпендикуляры на диагонали AC и BD- BE и CF соответственно и на сторону AD- BG и СH соответственно.

Доказать: 1) из того, что прямые AB, GE и CD пересекаются в одной точке, следует, что AB, HF, CD также пересекаются в одной точке. 2) 1) выполняется тогда и только тогда, когда прямые AB и CD перпендикулярны.

13 сентября

№43.

Условие: угол A; точка B внутри него; из B проведены лучи, перпендикулярные лучам угла A и пересекающие его соответственно в точках D и E; точка B симметрично отражена относительно лучей, получены точки D’ и E’ соответственно; D’E’ пересекает лучи в точках F и G в том же порядке; из F и G восстановлены перпендикуляры к лучам угла, пересекающиеся в точке H.

Доказать: A,H,B лежат на одной прямой; гипотеза: прямую D’E’ можно заменить произвольной параллельной прямой.

21 сентября

№44.

Условие: в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями BC и AD (BC<AD) и высотой AB можно вписать окружность; пусть её центр- I; прямая DI пересекает AB в точке E.

Доказать: AE=BC.

27 сентября

№45.

Условие: в равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD отмечен центр описанной окружности O. Радиус OC параллелен боковой стороне AB. Прямая DO пересекает сторону AB в точке E.

Доказать: OE=BE.

27 сентября

№46.

Условие: в окружности с центром O проведён диаметр AB; на дуге AB взята её середина C; параллельно AB проведена хорда DE, являющаяся стороной квадрата, вписанного в окружность, CA и CB продолжены до пересечения с прямой DE в точках F и G соответственно.

Найти: угол FOG.

28 сентября

№47.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и углом B=p/6. Хорды BD и CE, образующие со стороной BC угол p/4. Прямые DE и AC пересекаются в точке F. O-середина AB. Отрезок FO пересекает биссектрису угла A в точке G.

Доказать: AG=AC.

30 сентября

№48.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC; на гипотенузе AC как на основании построен равнобедренный треугольник ADC, причём градусные меры углов ACB и ADC относятся как 3:2 соответственно. На стороне AC взята точка E, так что AB=AE.

Доказать: отрезки BE и CD параллельны.

30 сентября

№49.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, у которого отношение катетов AB:BC равно 2:1. На BC как на стороне построен квадрат BDEC, точка E отражена симметрией относительно гипотенузы AC, получена точка E’. Катет BC равен a. Центр вписанной окружности треугольника I.

Найти: расстояние IE’.

30 сентября

Дата добавления: 2015-08-13