Июль 2012

№24.Условие: неравнобедренный треугольник ABC. Биссектриса BD. Перпендикуляры к боковым сторонам AB и BC из точки D-соответственно DE и DF. Прямая EF пересекает прямую AC в точке в точке G так, что DA=AG. Стороны AB и BC равны a и b соответственно.

Найти: sin ABC.

2-3 июля

№25. Условие: окружности с центрами O и O1-соотвественно w1 и w2- касаются друг друга. Из точки A вне окружностей проведены к ним равные касательные AB и AC (B принадлежит w1, C принадлежит w2). BС вторично пересекает окружность w2 в точке K. Доказать:O1K параллелен OB.

4-5 июля

№26. Докажите, что расстояние между центрами для всех пар окружностей, вписанных в ромб так, что одна касается другой и двух его пересекающихся сторон (при этом их точки касания лежат на разных сторонах), постоянно.

7-8 июля

№27. Условие: в прямоугольнике проведены диагонали, и в каждый образовавшийся треугольник вписана окружность.

Доказать, что сумма их радиусов меньше половины периметра прямоугольника.

10 июля

№28.

Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B и углом BAC<30 внутри его взята «необычная» точка E, такая, что EC=BC=AE, проведён перпендикуляр BD к гипотенузе AC.

Докажите, что ED=DC

10 июля

№29. Условие: к окружности с центром O проведены касательные из точки A –AB и AC. Проведена хорда BC. В образовавшемся треугольнике ABC проведены высоты CD и BE, пересекающиеся в точке F.

Доказать: отрезок OF делится BC пополам.

11 июля

№30. Условие: две окружности с центрами O и O1 касаются внешним образом. Проведена общая касательная MN. Из O восстановлен перпендикуляр к линии центров, и точка K его пересечения с прямой MN соединена с O1. Оказалось, что O1K-касательная к окружности с центром O..

Найти соотношение радиусов окружностей (меньшей к большей).

Ответ: 1:2

12 июля 2011

№31. Условие: окружности с центрами O и O1 (первая большая) касаются внешним образом в точке D. Из точки A большей окружности проведена касательная к меньшей окружности (точка касания C) так, что расстояние от центра большей окружности (O) до прямой AС равно радиусу меньшей. AC вторично пересекает большую окружность в точке B. Середина хорды AB- точка E-соединена с O1, причём EO1=scrt2.

Найти: радиус описанной окружности треугольника ODC.

15 июля

№32. Условие: на листе бумаги нарисовали две концентрические окружности (их общий центр- O). Из O провели радиус OA большей окружности и из A провели касательную к малой окружности AB, затем через B провели радиус OC и эту операцию продолжили до тех пор, пока цепочка не замкнулась, то есть основание очередной касательной совпало с точкой пересечения радиуса OA и малой окружности. Назовём такую фигуру (т.е. получившийся многоугольник) «солнышком». Пусть у солнышка 2 n зубьев.

Докажите, что площадь такого солнышка равна площади вписанного в большую окружность n-угольника, стороны которого соединяют его зубья через один.

18 июля

№33.

Существует ли треугольник, который можно путём проведения двух прямых из вершины разрезать на три равнобедренных?

18 июля

№34.Условие: каждую из сторон произвольного треугольника разделили на три равные части. Каждую вершину и более удалённую точку деления отметили разными цветами (соответственно получилось по три точки каждого из цветов на каждых двух соседних сторонах). На отрезках, концами которых являются точки одного цвета, как на диаметрах, построили полуокружности.

Докажите, что три точки их пересечения образуют вершины правильного треугольника.

18 июля конец дня (17-ый час)

№35. Условие: три окружности с центрами O1,O2,O3 касаются друг друга. Стороны O1O2, O3O2, O3O1 продолжены до пересечения с окружностями c центрами O1 и O2: прямые O1O2 и O3O2 пересекают окружность с центром O2 в точках A1 и A2 соответственно, прямые O1O2 и O 3O1 пересекают окружность с центром O1 в точках C1 и C2 соответственно. Прямые C1C2 и A1A2 пересекаются в точке B. Известно, что угол O1O3O2 равен 60 градусам.

Найти: угол C1BA1.

19 июля

№36. Условие: два обычных школьных угольника с углом 45 градусов и одинаковыми сторонами совместили так, что вершина одного оказалась на середине гипотенузе другого, и лучи первого прошли через две вершины второго.

Найдите площади заштрихованных на рисунке частей (считается, что угольники абсолютно плоские).

19 июля 2011 (идея старее)

№37.

Условие: два равных школьных угольника с углом 45 градусов и с равной шириной рамки наложили друг на друга так, что вершина каждого оказалась на середине диагонали другого. В результате образовались в том числе квадрат и четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Пусть их сумма равна квадрату(хотя это и отличается от стандарта; см. рисунок). Длина катета каждого из угольников равна a. Найти: ширину рамки.

Дата добавления: 2015-08-13