Математическая формализация модели

Перейдем от когнитивных моделей и поясняющей графики к математической формализации отношений и управляющих начал субъектов образовательного пространства. Основанием для моделирования является когнитивный граф согласования целостного образовательного пространства.

В качестве математического инструментария моделирования используем теорию нелинейных дифференциальных уравнений, являющуюся на сегодня наиболее развитым аппаратом исследования сложных развивающихся систем [11,12].

При исследовании открытых систем, способных к самоорганизации, в качестве динамических переменных выступают самые различные величины, например характеристики субъектов образовательного пространства.

Будем обозначать символами У i, Г i, Р i переменные характеристики, относящиеся к трем субъектам образовательного пространства, соответственно У i – Университетскому базовому комплексу; Г i – Гимназическому базовому комплексу; Р i – Региональному сетевому базовому комплексу.

Каждая переменная может нести дополнительные дискретные, внутренние степени свободы - типы характеристик, такие как: степень информатизации, уровень коммуникативности, величина административного ресурса, инновационный потенциал, уровень методического обеспечения, организационный потенциал, кадровый потенциал, материальный ресурс, уровень финансирования и т.д., относящиеся к данной переменной и обозначаемые натуральными индексами i, j, k.

Обращаясь к когнитивному анализу проведенному в предыдущих разделах, можно заключить, что простейшая формализация когнитивного графа согласования (рис.5) интерпретируется дифференциальной динамической системой, которая задается многомерной системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: в левой части производными переменных по времени, а в правой части нелинейным полиномом третьей степени плюс алгебраические балансовые уравнения на коэффициенты системы с учетом потоков государственного. регулирования и региональных источников.

	(1)
	(2)
	(3)

Производные по времени означают приращение тех или иных характеристик за «отчетный период», при необходимости можно было бы ввести модель с дискретным временем, но для простоты качественного анализа системы время выбрано непрерывным. В отсутствии левой части, когда все производные равны нулю, мы получаем стационарную систему без внутренней динамики развития, которая может оказаться и неустойчивой.

Константные члены а i отвечают линейному расширенному воспроизводству качеств системы и могут быть ассоциированы с простым экстенсивным способом развития системы, в отсутствие других слагаемых в правой части. Например, за счет внутренних резервов системы, или прямых дотаций государства, не зависящих от изменений характеристик системы. При этом наблюдается линейный по времени рост (убывание показателей системы).

Линейные члены в правой части, коэффициенты , , , если они доминируют, отвечают быстрым экспоненциальным и колебательным процессам в системе. Это возможно как за счет феноменов прямого донорства, спонсорства или передачи ресурсов одних субъектов образовательного пространства другим, а так же за счет потоков обладающих постоянством удельных характеристик. Например, государственное финансирование пропорциональное числу учащихся, фонд поощрения, растущий пропорционально числу отличников-студентов, числу методических пособий, или изобретений, инноваций.

Квадратичные члены описывают парные обменные взаимодействия субъектов образовательных пространств. Коэффициенты матриц , , отвечают собственно парным межсубъектным взаимодействиям. Их величины задают интенсивность стилей партнерства, парных симбиозов на основе обмена и сотрудничества по взаимовыгодным качествам. Например, обмен кадровыми ресурсами. Обмен может происходить преподавателями, учащимися (обмен опытом); обмен кадрового и материального ресурсов (приглашение преподавателей для ведения учебного процесса); материального и инновационного (создание экспериментальных площадок, научные, инновационные гранты) и т.д. Но возможны и эффекты типа «хищник-жертва». Отметим, что возможно рассмотрение и квадратичного самодействия отдельных субъектов вида У i У i, Г i Г i, Р i Р i, но поскольку в модели делается акцент на межсубъектное взаимодействие, мы их для простоты рассмотрения опускаем. Такое самодействие может привести к так называемым режимам с обострением, или, наоборот, к эффектам самоограничения.

Трехсторонние взаимодействия. Коэффициенты трехмерной матрицы , , отвечают процессам коллективного согласования участников образовательного пространства региона, возникновение гармоничного целостного организма образовательной системы непрерывного образования на всей территории региона. Именно эта цель диктует разделение функций субъектов и координацию их усилий, отраженную в коэффициентах матрицы . Они призваны выровнять потоковые дисбалансы, неизбежно возникающие в сложной системе. Здесь происходят множественные циклические обмены типа: методология (Университет) – методики (Гимназия) – массовый педагогический эксперимент и обратный поток инноваций (Региональный сетевой комплекс) и т.д.

Предложенная модель имеет решения, которые зависят от множества параметров, причем размерность пространства параметров весьма велика и равна , где N -- число дискретных типов характеристик, отвечающих одному из трех субъектов образовательного пространства. При допущении, что есть лишь один тип характеристик N =1, например степень информатизации, число параметров равно 24, при N =2 равно162, при N =3 равно 396 и т.д. Мы видим, что анализ решения нелинейных уравнений, зависящего от такого числа параметров очень трудоемок, почти невозможен. Поэтому возникает потребность редукции системы к более простой, а так же выделение наиболее существенных анализируемых параметров.

Это особая, творческая экспертная задача. Проблема сегментирования модели на подпространства параметров малых размерностей позволила бы провести не только компьютерный анализ для конкретных параметров, но и исследовать решения в их окрестности, определить возможные аттракторы и бифуркационные множества, использовать тезаурус парадигмальных моделей качественной теории дифференциальных уравнений и теории катастроф. Это особенно важно, потому, что многие параметры и количественные критерии в социогуманитарной сфере не четко определены, и само моделирование становится, по словам академика В.И. Арнольда, «мягким моделированием», дающим скорее качественное описание динамики системы, нежели точный количественный результат. Фрагменты приведенной модели могут описывать достаточно богатый спектр поведения систем, начиная от стационарных состояний точечных и колебательных аттракторов (типа модели «хищник – жертва), до хаотической динамики.

Дата добавления: 2015-08-10