Лінійні оператори і лінійні функціонали

Нехай є два лінійних простори і . Якщо кожному елементу x простору поставлено у відповідність цілком певний елемент y із простору , то кажуть, що заданий оператор , який діє у просторі із значеннями в .

Означення. Оператор A називається лінійним, якщо для і для будь-яких чисел α ₁ і α ₂ виконується рівність .

Приклад. .

Оператор діє в просторі . Будемо вважати, що K і φ – неперервні. Перевіримо умову лінійності:

З лінійності оператора випливають властивості:

1. ; 2. .

Означення. Лінійний оператор називається неперервним в точці x₀, якщо із збіжності будь-якої послідовності випливає, що відповідна послідовність значень оператора .Тут збіжність розуміється за нормою даного простору, тобто якщо при , то .

Теорема. Якщо лінійний оператор неперервний в точці x ₀, то він неперервний і в довільній точці довільного простору.

Доведення. Розглянемо довільну послідовність і покажемо, що . Розглянемо довільний елемент . Тоді в силу неперервності в x ₀ . Використаємо лінійність: , тоді (при ).

Означення. Лінійний оператор, який діє в лінійному просторі із значеннями в лінійному просторі називається обмеженим, якщо існує таке число , що для .

Теорема. Для того, щоб лінійний оператор був неперервним у будь-якій точці x, необхідно і достатньо, щоб він був обмеженим.

Доведення. Необхідність. Дано: – неперервний оператор. Доведемо обмеженість, тобто що , . Припустимо протилежне, що оператор необмежений. Це означає, що для .

Розглянемо елемент і оцінимо за нормою:

, ; , , . Тоді, в силу неперервності, .

З іншого боку , не прямує до нуля, . Отримали суперечність.

Достатність. Дано, що оператор обмежений, тобто , . Доведемо, що для , .

; .

Теорему доведено.

Дата добавления: 2015-08-09