Обернений оператор

Визначення 5.4. Оператор називається оборотним, якщо для будь-якого рівняння

(5.3)

має єдиний розв’язок.

Якщо оборотний, то кожному можна поставити у відповід-ність єдиний елемент , який є розв’язком рівняння (5.3). Оператор, який здійснює цю відповідність, називається оберненим до і познача-
ється .

Теорема 5.4. Оператор , обернений до лінійного оператора , також лінійний.

Теорема 5.5. (Банаха про обернений оператор). Нехай – лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає банахів простір на банахів простір . Тоді обернений оператор обмежений.

Наслідок 5.1. Лінійне неперервне відображення банахового простору на весь банахів простір є відкритим, тобто воно переводить відкриті множини у відкриті.

Теорема 5.6. Нехай і – банахові простори, оператор оборотний і такий, що . Тоді оператор існує і є обмеженим.

Теорема 5.7. Нехай – банахів простір, – тотожний оператор (приклад 5.1) в , а – обмежений лінійний оператор, який відображає в себе, такий, що . Тоді оператор існує, обмежений і його можна представити у вигляді

.

Дата добавления: 2015-08-09