Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная арифметика

Компьютер, как вычислительное устройство работает с данными представленными в двоичной системе счисления.

Это связано с тем, что минимальный элемент хранения информации (бит) может принимать одно из двух значений «0» или «1». Это можно представить как выключатель, у которого может быть только одно из двух положений: «включен» или «выключен».

Десятичные и двоичные числа.

Разберём «устройство» чисел.

Например, десятичное число 273₁₀ (10 – основание системы счисления) можно представить как 2*10²+2*10¹+3*10⁰.

Аналогично мы можем поступать с числами в любой другой позиционной системе счисления. Например, 10010011₂ = 1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰.

Очевидно, что все слагаемые, где один из множителей равен нулю, можно игнорировать.

Остаётся 1*2⁷+1*2⁴+1*2¹+1*2⁰=128+16+2+1=147.

Обратное преобразование числа – из десятичной системы счисления в двоичную. Возьмём произвольное десятичное число, например 235. Требуется найти максимальное число вида 2ⁿ меньшее числа 235. Таким числом будет 2⁷=128, т. к. 2⁸=256 уже превышает преобразуемое число 235. Таким образом, в 7-м разряде будущего двоичного числа будет единица (разряды нумеруются справа налево начиная от нуля). Выполним вычитание
235-128=107. Аналогично надо найти максимальное число вида 2ⁿ меньшее числа 107. Это будет число 2⁶=64. Снова выполняем вычитание 107-64=43. В 6-м разряде будущего двоичного числа так же будет единица. Находим следующее число вида 2n, которое «поместится» в остаток 43. Это будет 2⁵=32. В пятом разряде пишем «1» и снова выполняем вычитание: 43-32=11. 2⁴=16 больше нашего текущего остатка. Следовательно, в четвёртом разряде – «0». 2³=8; 11-8=3; в третьем разряде – «1». 2²=4 > 3 => во втором разряде – «0». Осталось найти две недостающие «единицы» 2¹=2 + 2⁰=1, чтобы выразить число 235 суммой слагаемых вида 2ⁿ. Двоичный результат – 11101011. Можно проверить: 2⁷+2⁶+2⁵+2³+2¹+2⁰=128+64+32+8+2+1=235.

Задание: преобразовать двоичное число 101101 в десятичное и десятичное 72 – в двоичное. Выполнить проверку.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Особняком в информатике стоят восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Это связано с тем, что их основания представляют собой степень двойки – 3-ю и 4-ю соответственно.

«Алфавит» восьмеричной системы счисления состоит из цифр от 0 до 7.

«Алфавит» шестнадцатеричной системы счисления состоит из цифр от 0 до 9 и латинских букв от A до F (верхняя строчка шестнадцатеричная запись, нижняя – десятичное значение):

A

B

C

D

E

F

Любое однозначное восьмеричное число может быть представлено в двоичной системе счисления 3-я битами:

000₂ = 0₈

111₂=7₈ (2²+2¹+2⁰=7).

Любое однозначное шестнадцатеричное число может быть представлено в двоичной системе счисления 4-я битами:

0000₂=0₁₆

1111₂=F₁₆ (2³+2²+2¹+2⁰=15) (см. таблицу «алфавита» на предыдущей странице).

Для того чтобы преобразовать 2-значное восьмеричное число, требуется каждый разряд такого числа записать в виде «триады».

Пример: Привести к двоичному виду число 52₈.

58

28

528

Важно: нельзя «потерять» ведущие нули в любом разряде кроме первого – это приведёт к ошибке. Т. е. 2₈ нельзя в данном случае представить как 10₂, а обязательно как 010₂, т. к. мы вместо 101010₂ (42₁₀) получим 10110₂ (22₁₀).

Преобразование 2-значного шестнадцатеричного числа в двоичное выполняется аналогично. Разница заключается лишь в том, что каждый шестнадцатеричный разряд кодируется 4 битами.

Пример: Привести к двоичному виду число E5₁₆.

E

E516

Замечание о необходимости учитывать ведущие нули остаётся в силе.

Задание: преобразовать к двоичному виду числа: 71₈, 43₈, АЕ₁₆, С6₁₆.

Дата добавления: 2015-08-09