Утверждено на заседании кафедры 21 ноября 2005 г., протокол № 3

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Самарская государственная академия путей сообщения

Кафедра «Инженерная графика»

Взаимное пересечение двух плоскостей

Методические указания и задания

для студентов 1 курса очной формы обучения

технических специальностей

Составители: А.А. Логунцов

Г.В. Изранова

Самара 2005

УДК 625 23/24 032.8

Взаимное пересечение двух плоскостей: методические указания и задания для студентов 1 курса очной формы обучения технических специальностей).- Самара: СамГАПС, 2005. - 15 с.

Утверждено на заседании кафедры 21 ноября 2005 г., протокол № 3

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

Методические указания и задания предназначены для студентов 1 курса технических специальностей очной формы обучения. В методических указаниях рассмотрены примеры построения линии пересечения плоскостей, предложены варианты контрольных заданий.

Составители: Логунцов А.А.

Изранова Г.В.

Рецензенты: д.т.н,проф. каф. СДМ и ТМ СамГАПС Морогов В.М.

к.т.н., доцент кафедры ИГ СамГАПС Зиновьева Т.Ю.

Редактор Шимина И.А.

Компьютерная верстка Чертыковцева Н.В.

Подписано в печать 30.12.05.Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Печать оперативная Усл. п. л. 1,0.

Тираж 200 экз. Заказ № 220.

©Самарская государственная академия путей сообщения, 2005.

1. Содержание и цель работы

Задание по теме «Взаимное пересечение плоскостей» состоит в следующем:

1. По данным координатам построить проекции двух треугольников (плоскостей). Координаты взять из таблицы исходных данных (по варианту).

2. Построить линию взаимного пересечения двух плоскостей.

3. Отметить видимость пересекающихся плоскостей.

4. Построить натуральную величину треугольников методом замены плоскостей или методом плоскопараллельного перемещения.

2. Требования к выполнению работы

1. Все задачи работы выполняются на листе формата А3 (297х420 мм) в масштабе 1:1 в карандаше.

2. Заданные плоскости вычерчиваются синим или зеленым цветом карандаша, линии проекционной связи, основная надпись чертежным карандашом марки ТМ, линии пересечения красным цветом.

3. В правом верхнем углу чертежа записываются координатные данные плоскостей (по варианту).

4. Все построения на чертеже сохраняются.

Пример решения задачи по построению линии пересечения двух плоскостей и нахождению их истинных размеров дан на рисунках (рисунок 2 и 5). На рисунке 2 натуральная величина плоскости ∆ DKE находится методом плоско-параллельного перемещения, а на рисунке 5 натуральная величина плоскости ∆АВС найдена способом перемены плоскостей проекции.

3. Построение линии пересечения двух неограниченных плоскостей

Если плоскости не параллельны, то они пересекаются. В этом случае возникает задача о построении линии пересечения.

Так как линия пересечения двух плоскостей есть прямая, то для ее построения достаточно найти две точки, общие обеим плоскостям.

Для нахождения таких двух точек применяем прием, поясняемый рисунком 1.

Рисунок 1. Построение линии пересечения двух неограниченных плоскостей.

Пространственный чертеж.

Пусть требуется найти линию, по которой пересекаются две плоскости. Первая плоскость задана ∆АВС, а втораяплоскостьпараллельными прямыми m и n. Пересечем плоскости вспомогательной плоскостью Т. Она рассечет плоскости ∆АВС и mn по линиям 1-2 и 3-4.

Эти линии пересекаются между собой в точке М. Для нахождения второй точки проводим вторую плоскость Р. Линии пересечения ее с данными плоскостями 5 - 6 и 7 -8 пресекаются в точке N.

Соединив точки М и N, получим линию пересечения двух плоскостей.

Обычно в качестве вспомогательных секущих плоскостей используются плоскости частного положения (плоскости уровня или проецирующие плоскости).

На рисунке 2 рассмотрим пример, когда берутся две фронтальные плоскости уровня Т и Р.

Находим линии пересечения 1 - 2 с Δ DЕК и 4 - С с Δ АВС и на пересечении их получаем точку N. Находим линию пересечения D - 3 с ΔDЕК и 5 - 6 Δ АВС и получаем точку М.

Соединив точки М и N получаем линию пересечения ΔАВС и ΔDЕК.

4. Построение точки встречи прямой линии и плоскости

Для лучшего понимания данной темы, определим точку встречи прямой линии с плоскостью.

Чтобы определить точки встречи прямой L с плоскостью заданной ΔАВС (рис.3), необходимо через прямую L провести плоскость Т и найти линию пересечения этой плоскости Т с ΔАВС, т.е. линию 1 - 2. На пересечении прямой L с этой линией будет находится точка встречи прямой L с плоскостью – точка М.

На эпюре (рис.4) искомая точка М находится следующим образом:

1. Через прямую L ( проекции прямой L₁ и L₂) проводим фронтально-проецирующую плоскость Т (для этого через фронтальную проекцию прямой следует провести фронтальный след Т₂ плоскости);

2. Определяем линии пересечения вспомогательной проецирующей плоскости Т и данной плоскости ΔАВС. Для этогонаходим фронтальную проекцию линии пересечения вспомогательной плоскости Т и данной плоскости ΔАВС – линию 1₂ - 2₂ и 1₁ – 2₁ (горизонтальную проекцию линии). Прямая 1 - 2 определяется по точкам 1₂1₁ и 2₂2₁ пересечения прямых А₂С₂, А₁С₁ и В₂С₂, В₁С₁ данной плоскости проецирующей плоскостью Т.

3. Порядок определение проекций точки встречи: если вспомогательная плоскость горизонтально - проецирующая, то первой определяется фронтальная проекция точки встречи (и наоборот). На рисунке 4 вспомогательная плоскость фронтально – проецирующая, то первой определяется горизонтальная проекция точки встречи.

Точка встречи прямой L с ΔАВС будет находится на пересечении проекций прямой L₁ и линии 1₁ – 2₁. (М₁ –горизонтальная проекция точки, М₂ – фронтальная проекция точки). Точка М есть точка встречи прямой L с плоскостью ΔАВС.

4. Для определения видимых и невидимых отрезков прямой линии (относительно плоскостей проекций) используем метод конкурирующих точек.

Конкурирующими называются точки, лежащие на одном проецирующем луче.

По методу конкурирующих точек: видимой является та проекция прямой, точка на которой расположена дальше от оси Х на другой проекции. В данном случае используем точку 3 для определения видимости. На горизонтальной проекции видимой является проекция прямой А₁В₁, т.к. проекция 3₂¹ точки 3, лежащей на этой прямой А₂В₂ расположена дальше от оси Х, чем проекция 3₂ точки 3 лежащей на прямой L₂. Отрезок 3₁ М₁ соответственно невидим.

Аналогично определяется видимость на фронтальной проекции.

5. Построение линии взаимного

пересечения двух ограниченных плоскостей

Для решения данной задачи (см. рисунок 5) необходимо выполнить следующие действия:

1. Через прямую DЕ проводим фронтально - проецирующую плоскость Т и определяем линию пересечения этой плоскости с ΔАВС на фронтальной и горизонтальной проекциях – линия 1 - 2. Точка встречи проекции D₁Е₁ с линией 1₁ – 2₁ будет искомой проекцией точки М₁. По линии проекционной связи находим проекцию точки М₂ (если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой).Точка М является точкой пересечения стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника, т.е. она принадлежит линии пересечения заданных треугольников.

Аналогично определяем вторую общую точку для двух треугольников точку N ( проекции точки N₂, N₁).

2. Проводим через проекцию прямой DК, горизонтально - проецирующую плоскость Р и находим линию пересечения этой плоскости Р₁ с проекцией ΔА₁В₁С₁ – линия 3₁ – 4₁. Точка встречи стороны D₂К₂ с линией 3₂ – 4₂ будет искомой проекцией точки N₂.

3. Соединив полученные точки М и N на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций, получим линию пересечения МN двух плоскостей ΔАВС и ΔDEK.

4. Видимость двух треугольников определяем с помощью метода конкурирующих точек.

6. Определение натуральных величин плоскостей

Натуральные величины плоскостей можно найти различными способами:

1. Способ перемены плоскостей проекций.

2. Способом вращения

3. Вращением вокруг линии уровня (горизонталей или фронталей)

4. Способом совмещения

5. Способом плоско-параллельного перемещения

На рисунке 2 приведен пример нахождения натуральной величины ΔDEK способом плоско-параллельного перемещения ( вращение без указания положения осей). Этот метод заключается в следующем: не изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры, переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую проекцию по линиям проекционной связи.

Для этого, в ΔDEK проводим горизонталь h, затем горизонтальную проекцию плоскости ΔD₁E₁K₁ расположим так, чтобы горизонтальная проекция горизонтали h₁ была перпендикулярна П₂. горизонтальная проекция треугольника сохраняет вид и величину ΔD₁E₁K₁=ΔE₁¹D₁¹К₁¹, изменяется лишь ее положение. Проекции точек E₂¹, D₂¹ и К₂¹ находятсяна горизонтальных линиях связи E₂¹ E₂, D₂¹ D₂, К₂¹ К₂. Фронтальная проекция ΔDEK изобразится в прямую линию E₂¹D₂¹К₂¹ (плоскость общего положения превращается в проецирующую)_, затем располагаем эту проекцию горизонтально (проекция плоскости E₂¹¹D₂¹¹К₂¹¹ параллельна оси 0Х), при этом сохраняется вид и величина. Проекции точек E₁¹¹, D₁¹¹ и К₁¹¹ находятсяна горизонтальных линиях связи с точками E₁¹, D₁¹ и К₁¹. На горизонтальной плоскости проекции получаем натуральную величину плоскости ΔDEK (проецирующая плоскость превращается в плоскость уровня). Если геометрическая фигура расположена в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекции, то на эту плоскость проекций фигура проецируется в натуральную величину без искажения. В данном примере мы получили горизонтальную плоскость уровня, т.к. плоскость ΔDEK параллельна горизонтальной плоскости проекции.

При таком способе, во-первых, несколько упрощается построения и, во-вторых, не происходит наложения проекций одной на другую.

На рисунке 5 приведен пример нахождения натуральной величины ΔАВС способом перемены плоскостей проекций.

Сущность метода заключается в следующем, что положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а систем плоскостей проекций П₁ – П₂ дополняется плоскостями, образующими с П₁ – П₂ системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций. При этом расстояния от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до предыдущей оси.

Данные задачи решаются в два этапа:

1. плоскость общего положения преобразуется в проецирующую;

2. проецирующая плоскость преобразуется в плоскость уровня.

Алгоритм решения таких задач следующий:

Первый этап:

· строится линия уровня в в заданной плоскости;

· вводится новая плоскость проекций перпендикулярно к линии уровня заданной плоскости и перпендикулярно остающейся плоскости проекций;

· строятся новые линии проекционной связи;

· на новых линиях проекционной связи откладываются координаты точек, взятые с отбрасываемой проекции.

2. Второй этап:

· вводится новая плоскость проекции параллельно прямой, в которую превратилась заданная плоскость после выполнения первого этапа;

· строятся новые линии проекционной связи (линии проекционной связи всегда перпендикулярны плоскости проекций);

· на новых линиях проекционной связи откладываются координаты с отбрасываемой проекции.

На рисунке 5 дана плоскость общего положения ΔАВС, путем перемены плоскостей проекции плоскость превращается в плоскость уровня (горизонтальную плоскость).

Задача решается двойной заменой плоскостей проекции.

Первой заменой плоскость превращается в проецирующую.

Для этого, в плоскости ΔАВС проводим горизонталь h ( линия уровня ), затем вводим новую плоскость проекции П₄, перпендикулярную линии уровня (в данном случае горизонтальной проекции горизонтали h₁). Координаты проекций точек С₄, А₄ и В₄ берем с плоскости П₂ (отбрасываемой плоскости проекции). В результате этих преобразований плоскость спроецируется в прямую линию С₄А₄В₄ (фронтально-проецирующая плоскость). Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций называется фронтально-проецирующей плоскостью.

Вторая замена выполняется введением новой плоскости проекции параллельной заданной плоскости. Для этого вводится новая ось координат П₅, параллельная проекцииплоскости С₄А₄В₄. Координаты проекций точек С₅, А₅ и В₅ берем с плоскости П₁ (отбрасываемой плоскости проекции), а построенная проекцияплоскости ΔС₅А₅В₅ естьнатуральная величина ΔАВС ( т.е. получили горизонтальную плоскость уровня), так как в системе П4/П₅ проекция плоскости С₄А₄В₄. параллельна оси ОХ)

Литература

1. Фролов С.С. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение,1978

2. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа,1990.

Рисунок 3. Нахождение точки встречи прямой L с плоскостью ∆АВС.

Пространственный чертеж.

.

Рисунок 4. Нахождение точки встречи прямой L с плоскостью ∆АВС.

Комплексный чертеж

Дата добавления: 2015-08-18