ПРИЛОЖЕНИЕ А

ВВЕДЕНИЕ

Графические методы решения задач по дисциплине «Теория механизмов и машин» отличаются наглядностью и относительной простотой. Одним из методов определения кинематических характеристик является метод планов. Использование этих методов позволяет проанализировать кинематику механизма для ряда последовательных положений ведущего звена. Планы скоростей и ускорений строятся по векторным уравнениям (приложение А), которые составляются отдельно для каждой группы Ассура в порядке присоединения их к ведущему звену и к другим звеньям механизма.

МЕТОД ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ

Построим план скоростей для меха­низма подачи суппорта долбежного станка (рисунок 1, а) по следую­щим данным:

1 Определим скорость точки A₁ «пальца» кривошипа:

Вектор перпендикулярен ОА и направлен в сторону вра­щения кривошипа, т.е. по .

2 Определим скорость точки А₃ кулисы СЕ, для чего составим векторное равенство:

(1)

где — скорость точки А₃, принадлежащей отрезку ВЕ кулисы СЕ и совпадающей в данный момент с точкой А₁. Так как кулиса вращается вокруг оси, проходящей через точку В, то вектор V_А3 на­правлен по касательной к окружности радиусом ВА и, следова­тельно, перпендикулярен АВ или ВЕ;

V_А3А1 - вектор скорости относительного движения вдоль оси ВЕ кулисы; следовательно, вектор V_А3А1 параллелен ВЕ.

Таким образом, в равенстве (1):

(2)

3 План скоростей строится в масштабе .

Введем обозначения: Р— полюс плана скоростей; - вектор, изображающий на пла­не скоростей скорость точки А₁ (V_А1) в масштабе .

1) Масштабный коэффициент плана скоростей определяется по формуле

(3)

Рисунок 1 - Механизм подачи суппорта долбежного станка (а),

план скоростей механизма (б)

где V_А1 — скорость точки А₁ м/с; Ра₁ — длина вектора Ра₁, мм. Для вычисления масштабного коэффициента необходимо задать длину отрезка Ра₁. При этом должны выполняться условия:

1) длина отрезка Ра₁ > 80 мм; 2) длина отрезка Ра₁ должна быть кратна скорости V_А1.

В соответствии с этими условиями примем длину отрезка

Рa₁ = 92 мм; тогда по (3) вычислим

.

Измерением на плане скоростей получим Ра₃ = 70 мм.

3)Скорости точек Е, С и S₃ определим, используя пропорции для плана скоростей:

=

откуда следует:

где ВЕ = 112 мм; BС = 40 мм; ВS₃ = (БЕ - ВС)/2 = (112- 40)/2 = 36 мм - отрезки на плане механизма.

На плане скоростей точка е лежит на продолжении pа₃ т очка S₃ внутри отрезка pа₃, а точка с на той же прямой с про­тивоположной стороны от полюса Р.

3 Определим скорость точки D. Шатун СD совершает плоскопа­раллельное движение. Считая точку D принадлежащей звену 4, на основании теоремы о скоростях точек тела, совершающего такое движение, составим векторное равенство:

(4)

где - абсолютная скорость точки , — скорость точки , относительно во вращательном движении звена вокруг ; следовательно, вектор перпендикулярен .

Так как точка D принадлежит одновременно и звену 5, совер­шающему возвратно-поступательное движение вдоль оси Вх, то, следовательно, вектор V_В параллелен оси Вх.

4 На основании равенства (4) закончим построение плана скоростей (рисунок 1, б): через точку с проведем прямую, перпенди­кулярную звену DС, а через полюс Р— вертикальную прямую; на их пересечении получим точку d. Дополнительно определим ско­рость точки S₄ — центра масс шатуна СD. Для этого на плане ско­ростей разделим отрезок cd пополам; полученную точку S₄ соеди­ним с полюсом Р; - скорость точки S₄ в масштабе . Проста­вим направления всех векторов.

Измерением на плане скоростей получим:

P_d= 26 мм; cd = 11,5 мм; Ps₄ = 29,5 мм; a ₁ а ₃=60мм.

Используя масштабный коэффициент вычислим:

1) скорости центров масс звеньев:

2) угловые скорости кулисы СЕ и шатуна СО:

3) скорость относительного движения

При курсовом проектировании для проведения полного кине­матического анализа необходимо построить планы скоростей для всех последовательных положений механизма. По полученным ре­зультатам строится диаграмма зависимости скорости ведомого (ис­полнительного) звена механизма от времени. Например, для меха­низма, изображенного на рисунке 1, а, — это диаграмма V_D = f(t)

ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ ДЛЯ ПЛАНА СКОРОСТЕЙ

Теоремы подобия приме­няются для определения скоростей и ускорений точек звена, со­вершающего плоскопараллельное движение.

Теорема. Отрезки прямых линий, соединяющие концы век­торов абсолютных скоростей точек на плане скоростей, и отрезки прямых линий, соединяющие одноименные точки на плане меха­низма, образуют подобные и сходственно расположенные фигу­ры. Фигура на плане скоростей повернута на 90° относительно фигуры на плане механизма.

Рисунок 2 – Схема механизма (а), план скоростеймеханизма (б)

Доказательство. Построим в общем виде план скоростей для меха­низма, изображенного на рисунке 2, а,

1 Найдем скорость точки А:

Вектор V_А перпендикуля­рен кривошипу ОА и направлен в сторону его вра­щения.

2 Определим скорость точ­ки В. Шатун 2 совершает плоскопараллельное дви­жение. На основании теоремы о скоростях точек тела, совершаю­щего такое движение, составим векторное равенст

(5)

где - скорость точки В относительно точки А во вращатель­ном движении шатуна 2 вокруг А; следовательно, вектор пер­пендикулярен отрезку АВ. Одновременно точка В принадлежит ползуну 3, совершающему возвратно-поступательное движение вдоль оси Ох; следовательно, вектор V_в параллелен оси Ох.

3 На основании равенства (5) построим треугольник скоростей (рисунок 2, б):

-из произвольной точки Р проведем луч, перпендикулярный АО, в направлении вращения кривошипа 1 и отложим на нем отрезок Ра произвольной длины;

-через точку а проведем прямую, перпендикулярную АВ, а через полюс Р - прямую, параллельную оси Ох;

-на пересечении этих прямых получим точку b. Вектор — ско­рость точки В в масштабе. .

4 Определим скорость точки С шатуна 2. На основании теоремы о
скоростях точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, составим два векторных равенства:

(6)

где — скорость точки относительно точки А во вращатель­ном движении шатуна 2 вокруг А; следовательно, вектор пер­пендикулярен отрезку ; — скорость точки относительно точки В во вращательном движении шатуна 2 вокруг В; следова­тельно, вектор перпендикулярен отрезку BС.

5 На основании равенств (6) и (7) через точку а плана скоростей
проведем прямую, перпендикулярную АС, а через точку В — пря­мую, перпендикулярную ВС. Их пересечение дает точку с.

В результате построений мы получили на плане скоростей тре­угольник авс, подобный треугольнику AВС плана механизма. Признак подобия — взаимная перпендикулярность сторон. Таким образом, пп. 4 и 5 являются непосредственным доказательством теоремы подобия для плана скоростей.

Соединим точку С с полюсом плана скоростей. Вектор - абсолютная скорость точки С в масштабе .

МЕТОД ПЛАНОВ УСКОРЕНИЙ

Построим план ускорений для меха­низма подачи суппорта долбежного станка (рисунок 3,а) по следующим данным:

l_ОА =0,08 м;

l_ОВ =0,16 м;

l_ВС =0,100 м;

l_ВЕ =0,280 м;

l_CD =0,200 м;

=11,5 рад/с;

=30°.

По плану скоростей опреде­лим =3,3 рад/с; =0,6 м/с; =0,575 рад/с.

1 Определим ускорение a _A1 точки А₁ «пальца» кривошипа. В общем случае

(7)

где - нормальное ускорение, - тангенциальное ускорение.

Определим численно

По условию задачи, кривошип вращается равномерно, т.е. = const. Следовательно, его угловое ускореннее, ε₁=dω₁ /dt = 0 и , а полное ускорение точки А₁ равно ее нормальному уско­рению:

(8)

Таким образом, ускорение точки А₁

вектора направлен вдоль АО.

Рисунок 3 -Механизм подачи суппорта долбежного станка (а), план ускорений механизма (б)

2 Определим ускорение точки А₃ кулисы; составим два векторных равенства для структурной группы 2 класса 3 вида:

(9)

где - кориолисово ускорение; - ускорение относитель­ного движения;

соответственно нормальное и танген­циальное ускорения точки А₃ относительно точки В.

Численно =2 ω₃ V_АзА1 =2· 3,3 ·0,6 = 3,96 м/с².

V_{АзА1- относительная скорость вращательного движения из плана скоростей.}

Направление вектора определим, повернув на плане скоростей вектор отн. на 90° в сторону вращения кулисы,т.е. по направлению ω_3.

Далее вычислим

,

где

ВА - длина отрезка на плане положения механизма, мм.

Вектор параллелен ВЕ. Вектор направлен вдоль ВЕ от точки А к точке В. Вектор перпендикулярен BE.

3 Обозначим полюс плана ускорений π. Построение должно вес­тись в масштабе. Для вычисления масштабного коэффициента плана ускорений необходимо задаться длиной вектора , изо­бражающего на плане ускорений ускорение . При этом должны выполняться следующие условия:

1) длина отрезка π a₁ > 100 мм;

2) длина отрезка π a₁ должна быть кратной ускорению

.

Примечание. В виде исключения при построении плана ускорений для по­ложения механизма на участке холостого хода допускается в целях экономии места принимать длину отрезка π a₁ < 100 мм. Однако следует учесть, что это снижает точность получаемых результатов.

Приняв π a₁= 106 мм, вычислим масштабный коэффициент плана ускорений

и длины векторов, изображающих на плане ускорений и :

4 На основании равенств выполним построения (рисунок 3, б):

1) из произвольного полюса π проведем луч, параллельный АО, в на­правлении вектора (см. рисунок 3, а) и отложим на нем от­резок π a₁ = 106 мм;

2) из точки a₁ проведем луч, перпендикулярный BE, в направлении (см. рисунок 1, б) и отложим на нем отрезок a₁k = 40 мм;

3) из точки π проведем луч, параллельный BE, в направлении векто­ра (см. рисунок 1, а)и отложим на нем отрезок πn₁ = 23 мм (см. рисунок б);

4) через точку k проведем прямую, параллельную BE (это линия дей­ствия вектора ), а через точку п₁ — прямую, перпендикуляр­ную BE (это линия действия вектора ). Их пересечение дает точку а₃; соединив ее с полюсом π, получим вектор = ускоре­ние точки А₃ кулисы в масштабе .

5 Ускорения точек Е, S₃ и С определим, используя пропорции для плана ускорений:

откуда следует:

6 Ускорение точки D определим на основании теоремы об ускоре­ниях точек тела (звена CD), совершающего плоскопараллельное движение. Составим векторное равенство:

, (10)

где — ускорение точки D относительно С во вращательном движении шатуна (CD вокруг С); так как это движение неравномер­ное, то

(11)

где — соответственно нормальное и тангенциальное ус­корения точки D в этом движении.

Вектор направлен вдоль DC от точки D к точке С (см. рисунок1, а); вектор перпендикулярен DC; точка D одно­временно принадлежит звену 5, совершающему возвратно-посту­пательное движение вдоль оси Вх; следовательно, вектор па­раллелен оси Вх.

7 Численно

Вычислим длину вектора, изображающего на плане ускоре­ний вектор :

8 На основании равенства заканчиваем построение плана ускорений (длиной отрезка сп₂ пренебрегаем):

через точку п₂ проводим прямую, перпендикулярную CD, а через

полюс π - вертикальную прямую; их пересечение дает точку d;

9 На основании теоремы подобия разделим отрезок cd пополам и соединим полученную точку s₄ с полюсом; πa₄ — ускорение точки" s₄ в масштабе

10 Измерением на плане ускорений получим:

11 Используя план ускорений, вычислим:

1.Ускорения центров масс звеньев

12 Угловые ускорения кулисы СЕ и шатуна CD:

При курсовом проектировании обычно ограничиваются по­строениями планов ускорений для двух положений механизма. При проведении полного кинематического анализа необходимо построить планы ускорений для всех последовательных положе­ний механизма, а затем построить диаграмму зависимости уско­рения ведомого (исполнительного) звена механизма от времени. Например, для механизма, изображенного на рисунок 1, а — это диаграмма a _D =f(t).

При графическом решении задачи диаграмма ускорений строится методом графического дифференцирования диаграммы ско­ростей.

ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ ДЛЯ ПЛАНА УСКОРЕНИЙ

Теорема: Отрезки пря­мых линий, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений точек на плане ускорений, и отрезки прямых линий, соеди­няющие одноименные точки на плане механизма, образуют по­добные и сходственно расположенные фигуры.

Рассмотрим применение теоремы подобия для плана ускоре­ний на примере механизма, изображенного на рисунке 2, а.

Рисунок 4- Схема механизма (а), план ускорений механизма (б)

Построим в общем виде план ускорений для этого механизма.

1. Определим ускорение точки А «пальца» кривошипа. В общем случае

(12)

где — нормальное ускорение; - тангенциальное ускорение.

Численно

По условию задачи, кривошип вращается равномерно, т.е. ω = const. Следовательно, его угловое ускореннее, .Таким образом, полное ускорение точки А равно ее нор­мальному ускорению:

. (13)

Вектор , направлен вдоль звена ОА от точки А к точке О (см. рисунок 4, а).

2 Определим ускорение точки В шатуна 2. На основании теоремы об ускорениях точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, составим векторное равенство:

, (14)

где а_ВА — ускорение точки В относительно точки А во вращатель­ном движении шатуна 2 вокруг А; так как это движение неравно­мерное, то , и равенство (6) примет вид

(15)

где — соответственно нормальное и тангенцальное уско­рения точки В в этом движении.

Вектор направлен вдоль отрезка ВА от точки В к точке А (см. рисунок 4, а); вектор перпендикулярен отрезку ВА; точка В одновременно принадлежит звену 3, совершающему возврат­но-поступательное движение вдоль оси Ох; следовательно, век­тор параллелен оси Ох.

Численно .

3 Зададимся длиной отрезка πa и вычислим длину вектора, изображающего на плане ускорений :

4 На основании равенства (18) выполним построения (рисунок 4,б):

1) из точки π проведем луч, параллельный кривошипу ОА, в направ­лении вектора и отложим на нем отрезок πа;

2) Из точки а проведем луч, параллельный отрезку АВ шатуна 2, в на­правлении вектора (см. рисунок 4, а)и отложим на нем отрезок an;

3) Через точку п проведем прямую, перпендикулярную АВ, а через точку π — прямую, параллельную оси Ох; их пересечение дает точ­ку b.

Вектор - ускорение точки В в масштабе

4) Соединим на плане ускорений точку b с точкой a.

5) Определим ускорение точки С. Применим теорему подобия для

плана ускорений.

5 Для построения на плане ускорений ,подобного АВС, на плане механизма составим две пропорции:

и ,

откуда получим

и (16)

где ab - длина отрезка на плане ускорений, мм; АВ, АС, ВС- дли­ны отрезков на плане механизма, мм, которые могут быть получе­ны измерением на плане механизма или взяты из условия задачи.

6 Используя результаты вычислений выполним построения. Применим метод засечек: из точки а проведем дугу окружности раствором циркуля, равным ас; из точки b проведем дугу окружности раствором циркуля, равным be; пересечение этих дуг дает точку с. При этом возможно два положения точки с, и вер­ным является только одно из них. Правильность построений оп­ределяется условием сходственного расположения треугольников на плане ускорений и плане положений механизма: если обходить вершины сторон треугольника АВС по ходу часовой стрелки, то получим последовательность их расположения А, В, С. Значит, и при обходе вершин треугольника abc на плане ускорений по ходу часовой стрелки мы должны получить ту же последовательность их расположения — а, б, с. Это условие выполняется только при расположении точки с правее отрезка ab (см. рисунок 4, б).

Соединим точку с с полюсом π; получим вектор πс, который показывает ускорение точки С в мас­штабе .

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1Артоболевский И.И.Теория механизмов и машин: учебник для втузов.-4-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука: Гл.ред.физ.-мат. лит.,1988.-640 с.

2.Марголин Ш.Ф. Теория механизмов и машин:учебник для втузов.-Минск: Высшая школа, 2006.-320 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………. 1

1.Метод планов скоростей …………………………………….. …………. 1

2.Теорема подобия для плана скоростей………………………………….. 5

3.Метод планов ускорений………………………………………………….7

4.Теорема подобия для плана ускорений…………………… ……………12

Рекомендуемая литература……………………………………………… 15

ПРИЛОЖЕНИЕ А - Кинематический анализ групп Ассура

II класса методом планов…………………………………………………...16

Дата добавления: 2015-08-13