Аппроксимации функции

На примере задачи аппроксимации функции проведено сравнение двух наиболее распространенных алгоритмов нечеткого вывода - Мамдани (Mamdani) и Сугэно (Sugeno).Установлено определенное преимущество алгоритма Сугэно - в плане точности и простоты реализации. Показано функциональное сходство данного алгоритма с обобщенно-регрессионной искусственной нейронной сетью (GRNN).

Среди других алгоритмов нечеткого вывода, пожалуй, наиболее известными и популярными являются алгоритмы Мамдани (Mamdani) и Сугэно (Sugeno). Рассмотрим данные алгоритмы применительно к задаче аппроксимации непрерывной функции одной переменной.

Алгоритм Мамдани. Отметим вначале, что используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П₁: если x есть A₁, тогда z есть B₁,

П₂: если x есть A₂, тогда z есть B₂,

..........

П_n: если x есть A_n, тогда z есть B_n,

где x - входная переменная (имя для известных значений данных), z - переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А_i и В_i - нечеткие множества, определенные соответственно на X и Z с помощью функций принадлежности и (z).

Пример подобного правила:

если x - низко, то z - высоко.

Механизм нечеткого вывода при аппроксимации функции z(x) можно представить в виде:

Предпосылка:

П₁: если x есть A₁, тогда z есть B₁,

П₂: если x есть A₂, тогда z есть B₂,

..........

П_n: если x есть A_n, тогда z есть B_n.

Факт: x есть A

---------------------------------------------

Следствие: z есть B

В рассматриваемой ситуации данный вывод в форме алгоритма Мамдани математически может быть описан следующим образом:

1. Введение нечеткости (fuzzification): для заданного (четкого) значения аргумента x = x0 находятся степени истинности для предпосылок каждого правила a_i = (x0).

2. Нечеткий вывод по каждому правилу: находятся "усеченные" функции принадлежности для переменной вывода:

= (a_i, ).

3. Композиция: с использование операции МАКСИМУМ (max) производится объединение найденных усеченных функций, что приводит к получению итогового нечеткого подмножества для переменной вывода с функцией принадлежности

(z) = = [ ].

4. Наконец, приведение к четкости (defuzzification) - для нахождения z0 = F(x0) - обычно проводится центроидным методом: четкое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой , т.е.

,

где W - область определения .

Алгоритм Сугэно (0-го порядка). Исходный набор правил представляется в виде

П_i: если x есть A_i, тогда z есть z_i, i = 1,2,…,n,

где z_i = z(x_i).

Алгоритм состоит всего из двух этапов. Первый этап идентичен первому этапу алгоритма Мамдани. На втором этапе находится (четкое) значение переменной вывода:

.

Возможность использования аппарата нечеткой логики для задач аппроксимации базируется на следующих результатах.

1. В 1992 г. Ванг (Wang) показал, что нечеткая система, использующая набор правил

П_i: если x_i есть A_i и y_i есть B_i, тогда z_i есть C_i, i = 1,2,…,n

при

1) гауссовских функциях принадлежности

, , ,

2) композиции в виде произведения

[A_i(x) and B_i(y)] = A_i(x)B_i(y),

3) импликации в форме (Larsen)

[A_i(x) and B_i(y)]®C_i(z) =A_i(x)B_i(y)C_i(z),

4) центроидном методе приведения к четкости

,

где c_i - центры C_i(z), является универсальным аппроксиматором, т.е. может аппроксимировать любую непрерывную функцию на компакте U с произвольной точностью (естественно, при ).

Иначе говоря, Ванг доказал теорему: для каждой вещественной непрерывной функции F(X), заданной на компакте U и для произвольного e>0 существует нечеткая экспертная система, формирующая выходную функцию (X) такую, что

,

где - символ принятого расстояния между функциями.

2. В 1995 году Кастро (Castro) показал, что логический контроллер Мамдани при

1) симметричных треугольных функциях принадлежности:

2) композиции с использованием операции min:

[A_i(x) and B_i(y)] = min{A_i(x),B_i(y)},

3) импликации в форме Мамдани и центроидного метода приведения к четкости

,

также является универсальным аппроксиматором.

Сравнение описанных алгоритмов выполнялось при следующих условиях:

· аппроксимации функции проводилась на отрезке [-1, 1];

· аппроксимируемая функция задавалась набором значений (x_i, z_i), i = 1,2,…,n, при этом точки z_i располагались эквидестантно;

· функции принадлежности имели вид функций Гаусса, т.е. (x) =j((x-x_i)/a), (z) = j((z-z_i)/b), где j(·) - функция Гаусса, j(s/s) = exp(-s²/2s²), s - параметр функции (соответственно, a или b).

· количество правил n задавалось a priori;

· значения параметров a и b варьировались для получения наилучшего качества аппроксимации при заданном n.

Реализация алгоритмов и соответствующие вычислительные эксперименты проводилась с помощью системы MathCAD 2000.

Некоторые результаты при n = 9, a = 0.1, b = 0.3 приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1. Результаты аппроксимации для функции F(x) = x²

i
xi	-1	-0.75	-0.5	-0.25		0.25	0.5	0.75
zi	1.000	0.563	0.250	0.063		0.063	0.25	0.563	1.000
Оценка по алгоритму Мамдани	0.973	0.570	0.257	0.070	0	0.070	0.257	0.570	0.973
Оценка по алгоритму Сугэно	0.982	0.568	0.255	0.068	0	0.068	0.255	0.568	0.982

Таблица 2. Результаты аппроксимации для функции F(x) = x³

i
xi	-1	-0.75	-0.5	-0.25		0.25	0.5	0.75
zi	-1.000	-0.422	-0.125	-0.016		0.016	0.125	0.422	1.000
Оценка по алгоритму Мамдани	-0.962	-0.441	-0.136	-0.021	0	0.021	0.136	0.441	0.962
Оценка по алгоритму Сугэно	-0.976	-0.433	-0.133	-0.019	0	0.019	0.133	0.433	0.976

Приведенные и другие аналогичные результаты (полученные для большого числа вариантов) позволяют сделать выводы:

1) при прочих равных условиях и при оптимальных параметрах a и b погрешность аппроксимации с применением алгоритма Сугэно несколько меньше, чем с применением алгоритма Мамдани;

2) алгоритм Сугэно с вычислительной точки зрения реализуется значительно проще, чем алгоритм Мамдани, а время счета для него меньше, чем для алгоритма Мамдани в 50-100 раз;

3) общий вывод: если нет каких-либо особенных доводов в пользу алгоритма Мамдани, то лучше использовать не его, а алгоритм Сугэно.

Данные выводы, разумеется, носят предварительный характер и нуждаются в более корректном подтверждении (для функций многих переменных и т.п.).

Дата добавления: 2015-08-13