Читайте также:
|
С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма S значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на S (при S 
0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого "примитивного" сведения", поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности 
? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.
В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [1,4]). Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Напомним, что итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: "Арифметика применима тогда, когда она применима" (см. его монографию [6, с.21-22]).
При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы 
- см., например, монографию [7]). Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются.
Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.
Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1974 г. в работе [8] было показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как "проекции" случайных множеств. Рассмотрим этот метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.
Определение 2. Пусть 
- случайное подмножество конечного множества У. Нечеткое множество В, определенное на У, называется проекцией А и обозначается Proj A, если
при всех 
Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (8) нечеткое множество В = Proj A. Оказывается, верно и обратное.
Агрегирование
Aggregation
Синонимы: Агрегация
Процесс преобразования данных с высокой степенью детализации к более обобщенному их представлению. Заключается в вычислении так называемых агрегатов - значений, получаемых в результате применения данного преобразования к некоторому набору фактов, связанных с определенным измерением. При этом чаще всего используется простое суммирование, вычисление среднего или медианы, выбор максимального или минимального значений.
Например, факты, отражающие объемы ежедневных продаж, могут быть агрегированы по неделям, декадам, месяцам и т.д. Если в течение недели ежедневные продажи составили 12, 9, 14, 11, 15, 7 и 10, то при использовании суммы мы получим 78, среднего - 11.14, медианы - 11, минимума - 7 и максимума - 15.
Переход к более обобщенному представлению с помощью агрегирования необходим по нескольким причинам. Во-первых, детализированные данные часто оказываются очень изменчивыми из-за воздействия различных случайных факторов и поэтому слабо отражают общие тенденции и закономерности исследуемого процесса. Во-вторых, их масштаб может не соответствовать решаемой задаче. Например, если имеется информация о ежедневном числе клиентов, а на их основе требуется построить прогноз по неделям, то нужно выполнить соответствующее обобщение, чтобы единицей наблюдения стало число посетителей в неделю. И наконец, с помощью агрегирования можно уменьшить число обрабатываемых значений фактов. Например, вместо 365 значений ежедневных продаж за год можно использовать 52 по неделям.
Однако следует помнить, что при агрегировании может быть создано большое количество новых фактов, вычисление которых потребует значительных затрат времени и машинных ресурсов и даже способно привести к информационному взрыву хранилища данных.
Лингвистическая переменная
Linguistic variable
Понятие теории нечетких множеств. Переменная, которая может принимать значения понятий (фраз) естественного языка и используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств. Например, лингвистическая переменная «Скорость» может принимать значения «Очень быстро», «Быстро», «Медленно», «Очень медленно», переменная «Направление» – «Север», «Юг», «Запад», «Восток» и т.д. Они в свою очередь являются нечеткими переменными и изменяются в некотором диапазона числовых значений. Например, переменная «Очень быстро», являющаяся одним из значений лингвистической переменной «Скорость», варьируется в диапазоне 90-120 км/ч, «Быстро» – 70-90 км/ч и т.д.
Значения, которые принимает сама лингвистическая переменная, в свою очередь являются нечеткими переменными и принимают значения из некоторого диапазона числовых значений. Например, нечеткая переменная «Очень быстро», являющаяся одним из значений лингвистической переменной «Скорость», принимает значения в диапазоне 90-120 км/ч, «Быстро» - в диапазоне 70-90 км/ч и т.д.
Формально лингвистическая переменная определяется пятью составляющими: {x, T(x), X, G, M}, где x – имя переменной («Скорость», «Направление»), T(x) – множество значений лингвистической переменной (x1=«Очень быстро», x2=«Быстро», x3= «Медленно», x4=«Очень медленно»), X – интервал числовых значений переменной (0 – 120 км/ч), G – синтаксическое правило для образования имен значений (приставки «очень», «не очень» и т.д.), математическое правило, определяющее функцию принадлежности для каждого значения множества T.
Для описания нечетких множеств вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных.
Нечеткая переменная описывается набором (N,X,A), где N – это название переменной, X – универсальное множество (область рассуждений), A – нечеткое множество на X.
Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, т.е. лингвистическая переменная находится на более высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из:
· названия;
· множества своих значений, которое также называется базовым терм-множеством T. Элементы базового терм-множества представляют собой названия нечетких переменных;
· универсального множества X;
· синтаксического правила G, по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка;
· семантического правила P, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткое подмножество множества X.
Рассмотрим такое нечеткое понятие как "Цена акции". Это и есть название лингвистической переменной. Сформируем для нее базовое терм-множество, которое будет состоять из трех нечетких переменных: "Низкая", "Умеренная", "Высокая" и зададим область рассуждений в виде X=[100;200] (единиц). Последнее, что осталось сделать – построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма из базового терм-множества T.
Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.
Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:
При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).
Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.
Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.
Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой
и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.
Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности.
Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. На рисунке 3 приведен пример описанной выше лингвистической переменной "Цена акции", на рисунке 4 – формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.
Рисунок 3. Описание лингвистической переменной "Цена акции".
Рисунок 4. Описание лингвистической переменной "Возраст".
Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.
Пример
усть эксперт определяет толщину изделия, с помощью понятия "маленькая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равняется 10 мм, а максимальная - 80 мм.
Формализация этого описания может быть проведена с помощью лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где
, CON А = А2 , DIL А = А0,5 і ін. Вместе с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) существуют значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", то есть в виде нечетких чисел.
Функции принадлежности нечетких множеств:
"маленькая толщина" = А1, "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3.
Функция принадлежности:
нечеткое множество "маленькая или средняя толщина" = А1ÈА1.
Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 118 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| О статистике нечетких множеств | | | Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной |