Показатели надежности невосстанавливаемых систем

Основной качественной характеристикой надежности является так называемая функция надежности или сокращенно надежность P(t).

По определению надежность равна вероятности безотказной работы системы в течение заданного времени или вероятность того, что при заданных условиях в пределах заданной продолжительности работы (наработки) системы отказа не возникнет, т. е.

 

где Т – время безотказной работы системы

t – заданное время (рассматриваемый период времени)

P(A) – вероятность события А (в данном случае А состоит в том, что Т>t.)

В качестве показателя надежности неудобно использовать функциональную зависимость, например функцию P(t), поэтому в ТУ обычно оговаривают отдельные ординаты (одну или две) функции P(t) при значениях t, выбираемых из нормированного ряда t=100, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 часов.

 

По аналогии с функцией надежности вводится функция ненадежность или сокращенно ненадежность – вероятность отказа или вероятность того, что в течение заданного времени произойдет хотя бы один отказ.

Непосредственно из определения функций P(t) и Q(t) следует, что

Кроме того, считаем, что P(0) = 1, Q(0) = 0, т. е. рассматриваются системы, исправные, по крайней мере, в начальный момент времени.

А также P(¥) = 0, Q(¥) = 1, т. е. рассматриваются системы, время исправной работы которых конечно.

Из теории вероятностей известно, что функции вида P{x <= x} являются функциями распределения случайной величины x.

Точно также функция Q(t) = р{T <= t} является функцией распределения случайной величины Т.

Следовательно, ненадежность Q(t) является функцией распределения времени безотказной работы системы.

 

Производная от этой функции называется плотностью f(t) распределения времени безотказной работы

Удобная для расчетов характеристика надежности – интенсивность отказов l(t) (среднее число отказов в единицу времени).

Интенсивность отказов l(t) выражает интенсивность процессов возникновения отказов.

С течением времени число испытываемых образцов вследствие их отказов убывает, поэтому одинаковые значения плотности распределения f(t) говорят о тем большей интенсивности процессов возникновения отказов, чем меньше вероятность безотказной работы (т. е. число оставшихся образцов).

   

По определению:

 

или

 

Перепишем в другом виде:

Еще раз перепишем:

Затем интегрируем в пределах от 0 до t, помня, что

 

Получим

 

Перепишем в другом виде:

где с – постоянная интегрирования.

Определим ее, рассматривая момент времени t=0:

   

Тогда

 

Следовательно

 

И можно смело переписать очень важную формулу:

Ранее я говорил, что λ(t)=f(t)/P(t) по определению. Смысл этой терминологии становится ясным, если исходить из определения показателей надежности путем наблюдения и статистической обработки отказов достаточно большого числа однородных элементов. Регистрируя время, которое каждый элемент проработал до отказа, можно определить число всех тех элементов n, отказ которых наступил за время t. Частное от деления n_i на число всех испытываемых элементов n дает приближенное значение функции распределения F(t) = n_i/n, которое тем более точно, чем большее число элементов участвовало в эксперименте.

Отсюда можно предположить, что если в системе имеется n однородных элементов, то ожидаемое число отказов за время t будет равно n Q(t), а ожидаемая частота появления отказов – n f(t).

Таким образом, f(t) можно рассматривать как частоту отказов однородных элементов, отнесенных к общему их числу, что и выражается термином «плотность отказов».

Интенсивность отказов l(t) равна отношению ожидаемой частоты появления отказов к ожидаемому числу работоспособных элементов, т.е.

   

Отсюда можно выразить закон надежности P(t) через интенсивность отказов:

или

Последний переход возможен только при l(t)=l=const.

Такое условие порождает экспоненциальную модель распределения времени до отказа.

Запишем плотность отказов f(t) и функцию распределения отказов:

С экспоненциальной моделью тесно связана модель Пуассона, позволяющая выразить вероятность Р(t,n) того, что на заданном интервале времени (0,t) произошло ровно n событий (отказов), если время между отдельными событиями (отказами) распределено экспоненциально с параметром l. По модели Пуассона

Модель Пуассона основана на представлении о потоке отказов, называемого пуассоновским, если выполнены 3 условия:

Стационарность – свойство потока, выражающееся в том, что параметры потока не зависят от времени.

Ординарность – свойство потока, выражающееся в том, что в один и тот же момент времени может произойти только один отказ.

Отсутствие последействия – свойство потока, выражающееся в том, что вероятность наступления данного отказа не зависит от того, когда произошли предыдущие отказы, и сколько их было.

Модель Вейбулла- Гнеденко находит широкое практическое применение благодаря своей простоте и гибкости, т.к. в зависимости от значений параметров характер модели видоизменяется в широких пределах. По ней:

где a и b - параметры модели.

Существуют ещё:

1. модель усечённого нормального распределения;

2. модель гамма-распределения;

3. композиция двух экспоненциальных распределений.

Таким образом, мы имеем следующие функциональные характеристики надежности:

P(t) – надежность (вероятность безотказной работы);

Q(t) – ненадежность (вероятность отказа);

f(t) – плотность распределения времени безотказной работы;

l(t) – интенсивность отказов.

Зная одну из указанных характеристик надежности, можно получить все остальные.

Удобство использования l-характеристики и экспоненциальной формы записи функции надежности для использования в расчетах объясняется ее двумя свойствами, которые можно сформулировать следующим образом:

1. Аддитивность,

2. Отсутствие последействия.

 

Аддитивность - если система состоит из n элементов, то ее интенсивность отказов l равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов, т. е.

где li – интенсивность отказов i-го элемента.

Рассмотрим на примере системы из двух элементов:

1 элем. - l₁

2 элем. - l₂

Отказы элементов независимы и отказ системы наступает, если отказал хотя бы один элемент.

Тогда надежность системы ,где Т₁ и Т₂ – времена безотказной работы соответственно 1-го и 2-го элементов.

Можно записать, учитывая, что величины Т₁ и Т₂ независимы:

 

 

но

   

где Р₁ и Р₂ – надежности соответственно 1-го и 2-го элементов.

Следовательно

 

или

 

Дата добавления: 2015-08-05