Экспериментальное определение показателей надежности

Виды испытаний на надежность, планы, формулы для статистической оценки. Оценка параметров надежности методом максимума правдоподобия и оценка их достоверности.

Данные о надежности и их сбор.

Основной источник информации о надежности элементов и систем – данные об их отказах, полученные в процессе эксплуатации или испытаний.

Все виды испытаний на надежность можно разбить на две основные группы:

1. Определительные;

2. Контрольные.

В результате первых находятся фактические количественные показатели надежности. Вторые - для выявления соответствия количественных показателей надежности требованиям технических условий

Испытаниям на надежность подвергаются в основном элементы, узлы, блоки. Значительно реже устройства. Данные о надежности всей системы получают, как правило, путем расчета и экспериментально проверяют при эксплуатации опытного образца. Это объясняется тем, что испытания на надежность большого количества систем достаточно сложны и экономически не целесообразны, а иногда и не осуществимы.

Серьёзное влияние при проведении испытаний на надежность аппаратуры оказывает воспроизведение различных факторов окружающей среды.

Наиболее важные факторы:

1. Давление (высокое, низкое, вакуум)

2. Температура (высокая, низкая, диапазон и скорость изменения)

3. Твердые частицы (песок, пыль и т.д.)

4. Атмосфера (агрессивная и горючие газы, аэрозоли)

5. Радиация (солнечная, космическая, ядерная)

6. Влажность (сырость, плесень, оледенение, дождь, туман)

7. Вибрации, шумы, ударные нагрузки.

8. Физические поля (электромагнитное, гравитация, электростатические).

В зависимости от величины нагрузки испытания могут быть:

1. Испытания при номинальной нагрузке;

2. Ускоренные испытания при предельной нагрузке – форсированный режим;

3. Испытания на определение допустимой нагрузки. Их целью является определение величины нагрузки, при которой отказы происходят через достаточно короткий срок.

Важное значение при экспериментальной оценке надежности имеет организация (план) испытаний.

На стенде устанавливается N однотипных элементов, которые включаются под заданную нагрузку и работают при определенных внешних условиях. В процессе работы некоторые элементы отказывают.

План 1. Длительность испытаний t_и. Каждый отказавший элемент немедленно заменяется исправным. Случайным в ходе испытаний является число отказов. N(t_и).

План 2. Испытания ведутся до получения n отказов, каждый отказавший элемент немедленно заменяется исправным. Случайным результатом является длительность t_и.

План 3. Испытания ведутся до отказа всех испытуемых элементов. Отказавшие элементы новыми не заменяются. Фиксируется наработка на отказ отдельных элементов.

План 4. Испытания ведутся до получения n отказов без замены отказавших элементов. Отмечаются наработки.

План 5. Планируется длительность испытаний t_и. По окончанию испытаний фиксируется число n отказавших элементов.

Наиболее полно показатели надежности характеризуются путем определения одной из функций P(t), Q(t), f(t) или l(t). Определив одну из них, легко получим остальные.

Для получения функциональных показателей используют приближенные выражения, вытекающие непосредственно из определения соответствующих показателей:

,где n(t)- число отказавших за время t объектов, N – общее число испытываемых элементов;

Т.к. , то - отношение числа безотказно работающих к моменту t к исходному количеству;

- число отказов в единицу времени, отнесенное к первоначальному числу элементов, где - число отказавших элементов за время. .

- число отказов в единицу времени, отнесенное к среднему числу элементов, исправно работающих в данный момент времени.

Тогда:

, где t_i – время до отказа i-го образца.

, где число элементов в рабочем состоянии в момент t.

Используя приведенные зависимости и данные, полученные, например, по плану 3, строятся гистограммы функциональных показателей надежности.

При этом вначале строят гистограмму для l(t), по которой определяют, как изменяется интенсивность.

Для этого все время испытаний разбивают на интервалы времени Dt_i, т.о., чтобы в каждый из них попало по 4-6 отказов. Далее по формуле для l для каждого интервала Dt_i определяют l_i и строят гистограмму l(t) (по оси времени обычно логарифмический масштаб).

На типовой гистограмме (l=х-ка) видны три основные стадии работы элементов:

1. От 0 до t₁. Стадия приработки. Повышенная интенсивность обусловлена скрытыми дефектами производства.

2. От t₁ до t₂ характеризуется практически постоянной низкой интенсивностью отказов и получил название стадии нормальной работы.

3. От t₂ до ¥. Получил название износа и характеризуется постоянным возрастанием интенсивности отказов. Характерно появление большего количества постепенных отказов

Несмотря на нелинейность l-х-ки в 1-ой и 3-ей стадиях условно считают ее постоянной и равной l₀.

Основания для такого вывода:

1. Малая продолжительность приработки;

2. Большая длительность стадии нормальной работы. Не забывайте про логарифмический масштаб!

Для того, чтобы l®const, малонадежные элементы с дефектами обычно отбраковываются при контроле и испытаниях, а оставшиеся элементы имеют низкую и постоянную l отказов.

Стадия износа исключается из рассмотрения вследствие того, что для радиотехнических элементов она наступает после длительной стадии нормальной работы, т.е. после того, как электронные системы морально устаревают и заменяются.

Если же гистограмма l - характеристики не является типовой и не имеет значительной по длительности стадии нормальной работы, то в этом случае возникает вопрос о наилучшем приближении функции надежности элементов одним из теоретических законов распределения времени безотказной работы.

Используют, например нормальное распределение, гамма-распределение, распределение Вейбулла, а также композиции рассмотренных распределений.

Зависимость надежности от времени описывается с помощью математической модели надежности – матем. выражения, позволяющего определить показатели надежности. Простейшие матем. модели в виде формул с эмпирическими коэффициентами носят название статистических моделей распределения.

Наиболее распространенной статистической моделью является экспоненциальная модель распределения времени до отказа, по которой:

Вероятность безотказной работы

Функция плотности распределения времени до отказа

Функция интенсивности отказов

Наработка до отказа

Экспоненциальная модель может быть использована в случае, когда интенсивность отказов постоянная величина (этап нормальной работы)

Выбор наилучшего приближения и оценка правильности выбранной гипотезы о функции распределения времени безотказной работы осуществляется методами математической статистики по так называемым критериям согласия. Широко распространены, например, критерий χ² (Хи- квадрат) Пирсона и критерий Колмогорова. Основная идея этих критериев согласия заключается в вычислении вероятности полученного расхождения между гистограммой функции Q(t) и выбранным теоретическим законом распределения времени. В зависимости от этой вероятности (>0,25) принятую гипотезу отвергают или принимают.

После определения наиболее подходящей функции надежности осуществляют оценку ее параметров. Например, экспоненциальный закон имеет один параметр - l, который и подлежит оценке.

Для такой оценки можно использовать метод максимума правдоподобия, идея которого состоит в следующем.

Пусть при эксперименте получен ряд независимых значений: x₁, x₂,…, x_N изучаемой случайной величины x с плотностью распределения вероятностей f(x,a₁, a₂,…, a_m), где a_i – параметры распределения, подлежащие оценке. Вероятность P_i, что случайная величина x примет значения в окрестности точки x_i будет равна

Вероятность же того, что случайная величина x в процессе N независимых испытаний примет в качестве своих значений ряд x₁, x₂,…, x_N будет равна произведению вероятностей P_i, т. е.

Естественно, что параметры a_i следует выбрать так, чтобы вероятность Р приняла максимальное значение (отсюда название – максимум правдоподобия).

Следовательно, a_i надо определить из уравнений

(i=1,2,…, m)

Чисто технически удобнее вместо вероятности Р исследовать на максимум выражение

и находить параметры a_i из уравнений

(i=1,2,…, m) (функции Р и lnР достигают максимума при одном и том же значении a_i, т.е. корни уравнений и совпадают).

Запишем: ,

а для экспоненциального закона функция правдоподобия:

Тогда:

; ; и, окончательно

Иногда на практике имеется только часть ряда x₁, x₂,…, x_N, а об остальных членах ряда известно, что они больше некоторой величины b. Несмотря на неполную информацию, способ максимального правдоподобия позволяет все же оценить параметры a_i. В этом случае функция правдоподобия L будет иметь вид

Рассмотрим пример: Пусть в результате испытаний по плану 4 получим следующий ряд значений наработок на отказ t₁, t₂… t_n. В остальных N-n элементах за время испытаний отказов не наблюдалось. Следовательно, о времени безотказной работы этих элементов можно только утверждать то, что t_n+i>t_n, i=1,2,…,N-n

По результатам данного испытания требуется определить параметр экспоненциальной функции надежности. То есть λ.

Функция правдоподобия для данного случая имеет вид

Тогда

Отсюда

Окончательно:

После определения параметров распределения возникает вопрос о том, с какой точностью произведено указанное определение.

Оценка точности производится методами математической статистики и сводится к определению доверительных интервалов, отвечающих заданной доверительной вероятности и произведенному числу опытов.

Дата добавления: 2015-08-05