Расчет 3-х и 4-членных скользящих средних объема платных услуг населению РФ

Месяц	Объем платных услуг населению, млн. руб.	3-членные скользящие суммы	3-членные скользящие средние	4-членные скользящие суммы	4-членные скользящие средние	Центриро-ванные 4-х членные скользящие средние
январь	21,4	-	-	-	-   22,93 23,80 25,00 26,03 27,08 28,05 28,48 28,80 29,65	-
февраль	22,1	-	22,47	-	-
март	23,9	67,4	23,43	-	23,37
апрель	24,3	70,3	24,37	91,7	24,40
май	24,9	73,1	25,37	95,2	25,52
июнь	26,9	76,1	26,60	100,0	26,56
июль	28,0	79,8	27,80	104,1	27,57
август	28,5	83,4	28,43	108,3	28,27
сентябрь	28,8	85,3	28,63	112,2	28,64
октябрь	28,6	85,9	28,90	113,9	29,23
ноябрь	29,3	86,7	29,93	115,2	-
декабрь	31,9	89,8	-	118,6	-

В случае, когда тенденция исходного ряда, характеризующего исследуемый процесс, не может быть описана линейным трендом, наиболее надежным является использование взвешенной скользящей средней.

Взвешенная скользящая средняя отличается от простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами. Это связано с тем, что аппроксимация сглаживаемого ряда динамики в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному / i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания/. Полином первого порядка – есть уравнение прямой, следовательно, метод простой скользящей средней является частным случаем метода взвешенной скользящей средней. Коэффициенты находятся методом наименьших квадратов.

На первом этапе сглаживания определяются интервал сглаживания и порядок аппроксимирующего полинома. Принято считать, что при использовании полиномов высоких степеней и при меньших размерах интервалов сглаживание ряда динамики будет более гибким.

Центральная ордината параболы, например, принимается за сглаженное значение соответствующего фактическим данным уровня. Поскольку отсчет времени в пределах интервала сглаживания производится от его середины, то сглаженное значение уровня равно параметру а подобранной параболы и является соответствующей скользящей средней. Поэтому для сглаживания нет необходимости прибегать к процедуре подбора системы парабол, так как величину а можно получить как взвешенную среднюю из «к» уровней.

Например, если в интервал сглаживания входят пять последовательных уровней ряда со сдвигом во времени на один шаг, а выравнивание проводится по полиному второго порядка, то коэффициенты полинома находятся из условия:

(2.21)

Учитывая, что для нечетных , получаем систему:

(2.22)

Для определения необходимо найти значения и .

Так как интервал сглаживания равен к=5, то и .

Нормальное уравнение, определяющее и , в этом случае записывается следующим образом:

Решение этой системы относительно может быть представлено следующим образом:

Аналогичным путем получают выражения и для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка.

)

Согласно приведенным формулам, веса симметричны относительно центрального уровня и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

По данным рассмотренного выше примера об объеме платных услуг населению одного из регионов РФ за период январь – декабрь 2009 г. произведем расчет 7 – ми членных скользящих средних и проанализируем на их основе характер тенденции исходного временного ряда (таблица 2.9).

В качестве аппроксимирующего полинома примем параболу второго порядка, параметры которой могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

(2.23)

Отсчет времени в пределах интервала сглаживания произведем от его середины, то система уравнений упростится до следующего вида:

. (2.24)

Промежуточные расчеты взвешенных скользящих средних более подробно могут быть представлены следующим образом:

1.

2.

3.

4.

5.

6. ;

Анализ данных табл. 2.9 показал, что взвешенная скользящая средняя (гр. 18) на протяжении всего периода возрастает, т.е. за период с января по декабрь 2009 г. наблюдается рост объема платных услуг населения одного из регионов РФ.

Метод плавного уровня по величине среднего абсолютного прироста придает изменению во времени характер изменения по прямой линии, а по величине среднего темпа роста – по показательной кривой. И тот и другой методы не покажут, как происходило развитие, так как их плавный уровень целиком зависит от начального и конечного уровней динамики.

Метод Лагранжа является формальным методом, позволяющим установить математическую зависимость между уровнем временного ряда и временем, к которому он относится.

Обобщением этой типизации и является моделирование (нахождение аналитической функции, выражающей развитие явления за рассматриваемый период времени).

Метод аналитического выравнивания заключается в нахождении аналитической функции, выражающей развитие явления за рассматриваемый период времени. При этом решаются следующие задачи:

a) выбор вида уравнения, отображающего тип развития;

б) анализ схемы сбора фактических данных и определение параметров модели;

в) определение методов преобразования исходных данных с целью сведения сложных уравнений к более простым;

г) выявление степени близости теоретических и фактических данных.

Найденная модель позволяет получить выровненные или, другими словами, теоретические значения уровней.

Пример. Определим основную тенденцию ряда динамики объема платных услуг населению одного из регионов РФ за январь – декабрь 2009 г.

Рассмотрим определение тенденции на основе полинома первой и второй степени, то есть прямой и параболы второго порядка, промежуточные расчеты параметров которых приведены в таблице 2.10.

Для уравнения прямой параметры определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Для уравнения параболы второго порядка параметры могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

(2.25)

Дата добавления: 2015-08-03