Метад простай iтэрацыi

Сiстэма алгебраiчных раўнанняў для рашэння яе метадам простай iтэрацыi спачатку пераўтвараецца да выгляду, зручнаму для правядзення iтэрацый. Для гэтага кожнае раўнанне рашаецца адносна невядомых пераменных x₁, x₂, x₃, якiя знаходзяцца на галоўнай дыяганалi ў сiстэме (папярэдне раўнанні ў сістэме перастаўляюцца так, каб на галоўнай дыяганалі каэфіцыенты былі па модулю найбольшымі сярод астатніх каэфіцыентаў радка):

Уводзячы матрыцы C= ,

сiстэму можна запiсаць у выглядзе: X=C+DX.

Невядомая велiчыня X у гэтую сiстэму ўваходзiць у левую i правую часткi. Для таго, каб пачаць iтэрацыйны працэс па, неабходна спачатку выбраць так называемае пачатковае, або нулявое, наблiжэнне Х⁽⁰⁾, падставiць яго ў правую частку i вылiчыць першае наблiжэнне невядомай велiчынi X⁽¹⁾: X⁽¹⁾=C+DX⁽⁰⁾. И гэтак далей: X^(k)=C+DX^(k-1).

Умовы для заканчэння iтэрацыйнага .

Iтэрацыйны працэс характарызуецца такой важнай для яго ўласцiвасцю, як збежнасць. Толькi збежны iтерацыйны працэс можа прывесцi да атрымання рашэння сiстэмы. Умовамi збежнасцi iтэрацыйнага працэсу з¢яўляюцца, напрыклад, наступныя:

Модулi каэфiцыентаў, якiя знаходзяцца на галоўнай дыяганалi матрыцы каэфiцыентаў А, павiнны быць большымі сумы модуляў астатніх каэфiцыентаў у адпаведным радку або слупку матрыцы А.

22. Метад Зэйдэля (метад палепшанай iтерацыі)

Метад Зэйдэля адрознiваецца ад метада простай iтэрацыi тым, што пры разлiку невядомай велiчынi k-ага наблiжэння ў правую частку сiстэмы падстаўляюцца пераменныя k-ага наблiжэння, якiя ўжо вылiчаны на бягучым k-тым iтэрацыйным кроку з першага, другога,... і-1 раунанняў, i пераменныя k-1-ага наблiжэння, атрыманыя на папярэднiм iтэрацыйным кроку. Напрыклад, формулы для разлiку першага наблiжэння X⁽¹⁾ ў разгорнутай форме для сiстэмы трэцяга парадку маюць выгляд:

У большасцi выпадкаў метад Зэйдэля дае лепшую збежнасць iтэрацыйнага працэсу ў параўнаннi з метадам простай iтэрацыi.

Умовы для заканчэння iтэрацыйнага .

Iтэрацыйны працэс характарызуецца такой важнай для яго ўласцiвасцю, як збежнасць. Толькi збежны iтерацыйны працэс можа прывесцi да атрымання рашэння сiстэмы. Умовамi збежнасцi iтэрацыйнага працэсу з¢яўляюцца, напрыклад, наступныя:

Модулi каэфiцыентаў, якiя знаходзяцца на галоўнай дыяганалi матрыцы каэфiцыентаў А, павiнны быць большымі сумы модуляў астатніх каэфiцыентаў у адпаведным радку або слупку матрыцы А.

23. Для даследавання ўсталяванага рэжыму электрычных сiстэм прымяняюцца матэматычныя мадэлi на аснове алгебраiчных раўнанняў. Для разлiку параметраў ўсталяванага рэжыму патрабуецца рашыць сiстэму алгебраiчных раўнанняў якiм-небудзь лiкавым метадам. Вядомы два асноўных метады рашэння такiх сiстэм: дакладныя i iтэрацыйныя. Дакладныя метады дазваляюць разлiчыць каранi сiстэмы пасля выканання папярэдне вядомай колькасцi арыфметычных аперацый (метад Гаўса, Жардана i iнш.). Пры выкарыстанні ітэрацыйных метадаў развязанне знаходзіцца шляхам паслядоўных набліжэнняў.

Для дакладных метадаў характэрна вылiчальная хiтнасць, абумоўленая акругленнем пры вылiчэннях. Iтэрацыйныя метады, акрамя вылiчальнай хiтнасцi, валодаюць таксама метадычнай хiтнасцю. Каэфіцыенты сістэмы павінны задавальняць ўмовам збежнасці пры выкарыстанні ітэрацыйных метадаў; г. зн., не ўсякую СЛАУ можна развязаць ітэрацыйнымі метадамі. Аднак iтэрацыйныя метады з'яўляюцца адзінымі метадамі рашэння нелiнейных алгебраiчных раўнанняў. Ітэрацыйныя метады таксама валодаюць уласцiвасцю самавыпраўляльнасцi: памылкi i збоi ў вылiчальным працэсе могуць быць ўспрыняты як новае наблiжэнне.

24 Правілы пераўтварэння многапрамянёвай зоркі ў поўны мновавугольнік

Многапрамянёвай зоркай называецца частка складанай схемы, у якую уваходзшць вузел, усе галіны гэтага узла і крыніца току гэтага вузла.

Поўным многавугольнікам называецца схема, якая атрымоўваецца пасля выдалення многапрамянёвай зоркі.

Колькасць старон і дыяганалей поўнага многавугольніка рраўна колькасці спалучэнняў з n па k.

Правілы падліку параметраў мнагавугольніка:

1 праводнасць галiны схемы y_n,k, якая ўключана памiж n-ым i k-ым вузламi, на якiя абапiралася многапрамянёвая зорка з выдаляемым вузлом j, атрымоўвае прырост, якi роўны здабытку праводнасцей y_n,j i y_j,k тых двух прамянёў зоркi, якiя звязвалi выдаляемы вузел j з вяршынямi n i k многавугольнiка, падзеленаму на суму праводнасцей галiн многапрамянёвай зоркi y_j,j (уласная праводнасць выдаляемага вузла):

Калi памiж вузламi n i k галiна адсутнiчала, то пасля выключэння вузла j памiж гэтымi вузламi ўзнiкае новая галiна схемы з праводнасцю, роўнай прыросту праводнасцi.Колькасць усiх новых галiн i прыростаў вызначаецца формулай спалучэнняў;

2 ток крынiцы тока J_n у n-ым вузле многавгольнiка атрымоўвае прырост, якi роўны здабытку тока крынiцы тока J_j у выдаляемым j-тым вузле на праводнасць праменя y_n,j зоркi, падзеленаму на суму праводнасцей галiн многапрамянёвай зоркi y_j,j:

Калi ў n-ым вузле многавугольнiка перад выдаленнем j-тага вузла крынiца тока адсутнiчала, то пасля выдалення вузла j там узнiкае новая крынiца тока з токам, роўным прыросту.Колькасць новых крынiц тока або прыростаў крынiц тока роўна колькасцi вяршынь многавугольнiка.

25 Для схемы прамы ход Гауса адпавядае “згортцы” гэтай схемы да аднаго з яе лiнейна незалежных вузлоў. кожны радок матрыцы Y утрымлiвае iнфармацыю аб выдаляемых многапрамянёвых зорках на момант iх выдалення.Пры выкананнi адваротнага ходу метаду Гаўса ў с-ме з трыангул. матрыцай вык-цца разлiк невядомых вузлавых напружанняў U. Для сх. гэты этап адпавядае “разгортванню” яе i ўзнаўленню выдаленых вузлоў. На кожным этапе адваротнага ходу выкарыстоўваецца iнф-цыя адпаведнага радка трыангуляванай матрыцы Y i матрыцы J. У вынiку згорткi сх. замяняецца эквiвалентнымi праводнасцю i токам крынiцы тока адносна аднаго з вузлоў сх., да якога яна згортвалася. Перайшоўшы ад праводнасцi i тока да супрацiўлення i ЭРС, атрымаем эквiвалентныя (супрацiўленне i ЭРС схемы адносна таго ж вузла

Электрычная інтэрпрытацыя Метада Гаўса

	- эквивалент тока схемы адносна вузла 3.

Правілы падліку параметраў мнагавугольніка:

1 2
26 Дакладнасць залежыць ад выличальнай хитнасци, да хитнасци уваходных дадзеных, ад уласцивасцей систэмы.

Для дакладных: выличальная (звязана з акруггленнем прамежкавых рэзультатау)

Для итэрацыйных: выличальн и метадычная

Кали и далей будзем так рабиць, то на галоунай дыяганали атрымае 0. Рашэнне далей не магчыма.

На рэзультат рашэння будзе уплывать дакладнасць на ЭВМ. На рашэнне уплывае ацэнка Адамара.

Ацэнка Адамара

Умова абумоўленасці: калі дэтэмінант сістэмы Δ значна меньшы ацэнкі Адамара , то сістэма лічыцца дрэнна абумоўленай і рашэнне гэтай сістэмы немагчыма.

27 Алгарытм метаду. У вынiку згорткi схема замяняецца эквiвалентнымi (рэзультатыўнымi) праводнасцю i токам крынiцы тока адносна аднаго з вузлоў схемы, да якога яна згортвалася. Перайшоўшы ад праводнасцi i тока да супрацiўлення i ЭРС, атрымаем эквiвалентныя (рэзультатыўныя) супрацiўленне i ЭРС схемы адносна таго ж вузла. Ток эквiвалентнай крынiцы тока лiкава роўны току КЗ у зададзеным вузле, а эквiвалентная ЭРС - вузлавому напружанню дааварыйнага рэжыму ў гэтым вузле.

Разлiк вузлавых напружаннняў U_в дааварыйнага рэжыму выковаецца па вядомай эквiвалентнай ЭРС пры выкананнi адваротнага ходу метаду Гаўса ў тыангуляванай сiстэме вузлавых раўнанняў. Разлiк вузлавых напружанняў U _в^а аварыйнага рэжыму выконваецца шляхам накладвання на на дааварыйны рэжым так званага ўласна аварыйнага рэжыму з вузлавымi напружаннямi U_в^уа:

U _в^а= U_в + U _в^уа. (1)

Гiпатэтычны ўласна аварыйны рэжым атрымоўваецца, калi ў схеме замяшчэння ЭРС ўсiх генератараў прыняць роўнымi нулю, а ў вузле КЗ з нумарам n падключыць генератар з вузлавым напружаннем, лiкава роўным вузлавому напружанню дааварыйнага рэжыму ў гэтым вузле, але з адваротным знакам:

Е^уа_n=-U_вn. (2)

Разлiк вузлавых напружанняў уласна аварыйнага рэжыму для ўсiх астатнiх вузлоў схемы выконваецца пры вядомым вузлавым напружаннi Е^уа_n выкананнем адваротнага ходу метаду Гаўса. Матрыца каэфіцыентаў ў сiстэмах вузлавых раўнанняў для дааварыйнага і ўласна аварыйнага рэжымаў аднолькавыя. Правыя часткі сістэмы для ўласна аварыйнага рэжыму нулявыя, акрамя апошняга раўнання.

Па вядомых напружаннях U_в нармальнага рэжыму можна разлiчыць токi ў галiнах схемы нармальнага рэжыму. Па вядомых напружаннях U _в^а аварыйнага рэжыму разлiчваюцца токi КЗ у галiнах схемы.

Метад накладвання:

Уласна аварыйны рэжым – гэта рэжым, калі ўсе ЭРС=0, а ў вузле замыкання ўздзейнічае ЭРС па напружанню роўная напружанню дааварыйнага рэжыму ў гэтым вузле, але ўзятая з адваротным знакам

28 Пераходны працэсс характраразуецца: dy/dx=f(x,y) при y(0)=y0

x – незалежная перамення (час у асноуным)

y(x) – ф-ия f(x) можа имець адвольны выгляд.

f(x,y) – вядомая ф-ия ад незал x и невяд y. Можа мець адвольны выгляд.

Усе раунанни трэба прыводзиць к стандартнаму виду ДУ.

Пачатковыми умовами наз значэнне ф-ии пры x=0

Раунанне выгляду

– ДР n-га парадку можна замяниць сист n-га парадку

dy/dx=z1

d2y/dx2=z2

Кали an, an-1,…, a не залежаць ад y, то такое ДР наз линейным

29 Аналітычнае рашэнне дыферэнцыяльный раўнанняў

Дыф.называецца раўнанне, якое звязвае незалежную пераменную х, невядомую функцыю y(x) і яе вытворныя , , …, розных парадкаў:

(1)Рашыць дыф.раўнанне - знайсці яго агульны інтэграл, які звязвае незалежную преаменную х і невядомую функцыю y(x) з адвольнымі пастаяннымі велічынямі , ,… , колькасць якіх адпавядае парадку n дыферэнцыяльнага раўнання. Агульны інтэграл у геаметрычным сэнсе адлюстроўваецца сямействам крывых. Для выдзялення адной з крывых гэтага сямейства (для атрымання частковага рашэння) неабходна вызначыць адвольныя пастаянныя велічыні , ,…..., , задаючыся пачатковымі ўмовамі. Калі каэф. , ,…, не залежаць ад шуканай функцыі у(х), то раўнанне (1) з'яўляецца лінейным. Раўнанне (1) з'яўляецца раўнаннем з пастаяннымі каэфіцыентамі, калі каэфіцыенты , ,...…, - лікавыя канстанты. Пры f(y,x)=0 раўнанне называецца аднародным. Для інтэгравання раўнання з пастаяннымі каэфіцыентамі трэба знайсці карані адпаведнага яму характэрыстычнага раўнання (2)

Калі ўсе карані , ,...…, характарыстычнага раўнання розныя, то агульнае рашэнне аднароднага раўнання, адпаведнага раўнанню (1), есць сума частковых рашэнняў: (3)

Агульнае рашэнне лінейна незалежнага раўнання n-ага парадку з первай часткай складваецца з агульнага раш. адпавядаючага яму аднароднага раўнання і якога-небудзь частковага рашэння раўнання (1).

Лікавыя метады рашэння дыферэнцыяльных раўнанняў.

Стандартныя працэдуры лікавага раш. распрацаваны для нармальнай (кананічнай) формы прадстаўлення дыферэнцыяльнага раўнання: раўнанне мае першы парадак і вырашана адносна вытворнай: (7)

Пры лікавым рашэнні дыферэнцыяльнага раўнання на інтэрвале [x₀, x_n] змянання незалежнай пераменнай х выбіраецца некаторае мноства вузлоў, якое называецца сеткай:

у якіх вылічваюцца набліжаныя значэнні , ,.., ,…, шуканай функцыі у(х). Інакш кажучы, рашэнне будуецца ў выглядзе лікавай табл. . Рознасць называецца крокам сеткі. Часта крок сеткі выбіраюць пастаянным.Калі для вылічэння рашэнняў выкар. некалькі папярэдне вылічаных значэнняў .…, , то лікавы метад наз. многакрокавым (r-крокавым). Калі r=0, то метад называецца аднакрокавым. Для пабудовы лікавых формул, якія апраксімуюць дыферэнцыяльнае раўнанне, y¢=f(y,x) выкарыстоўваецца расклад рашэння ў шэраг Тэйлора ў наваколлі вузла :

. (7)

Лікавы метад мае парадак p, калі яго разліковая формула ўтрымлівае склады шэрагу Тэйлора з крокам h у ступені p. Таким чынам перавага аналітычнае рашэння у тым што мы знаходзим дакладнае рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання, знаходзим яго агульны інтэграл. Яго зручна даследаваць аналітычнымі метадамі, дыферэнцыяваць, інтэграваць, знаходзіць экстрэмумы і г.д.Аднак гэты метад непрыгодны для нелінейных раўнанняў, якія часцей за ўсе з'яўляюцца асновай для пабудовы матэматычных мадэляў пераходнага рэжыму электраэнергетычнай сістэмы. Для інтэгравання такіх раўнанняў распрацаваны лікавыя метады.Лікавыя метады валодаюць вылічальнай і метадычнай хібнасцю, пры іх рэалізацыі ўзнікае праблема ўстойлівасці і збежнасці вылічальнага працэсу. Рашэнне ликавым металам будуецца ў выглядзе лікавай табл. . Па гэтай таблице магчыма пастроиць график функцыи, а за тым апраксимираваць яе.Але пры вяликай колькасци караней адпаведнага яму характэрыстычнага раўнання рашыць такое дыферэнцыяльнае раўнанне аналітычным метадам затрудницельна, таму тут лепш прымяниць лікавыя метады.

Дата добавления: 2015-08-05