Постановка задачи 2.

Проект представлен сетевым графиком. Для каждой работы известна ее продолжительность t_ij и минимально возможное время выполнения d_ij. Для сокращения срока реализации проекта выделено В ден.ед. Вложение дополнительных средств х_ij в работу (i,j) сокращает время ее выполнения до t^’_ij = t_ij - k_ijx_ij. Технологические коэффициенты k_ij известны.

Требуется найти такие t ^н _ij, t^o_ij, x_ij, чтобы:

· время выполнения всего комплекса работ было минимальным;

· количество используемых дополнительных средств не превышало B ден. ед.;

· продолжительность выполнения каждой работы была не меньше заданной величины d_ij.

Таблица 2.3

Но-мер задачи	Пара- метры	Работы	Срок выпол- нения проекта t0
1,2	1,3	1,4	2,4	2,5	3,4	3,6	4,5
	tij
*	dij									34
	kij	0,1	0,3	0,2	0,05	0,25	0,2	0,12	0,5
	tij
	dij
	kij	0,05	0,2	0,25	0,08	0,15	0,1	0,06	0,05
	tij
	dij
	kij	0,08	0,25	0,1	0,15	0,3	0,2	0,08	0,4
	tij
	dij
	kij	0,05	0,25	0,3	0,07	0,15	0,1	0,05	0,03
	tij
	dij
	kij	0,25	0,07	0,1	0,2	0,13	0,15	0,06	0,4
	tij
	dij
	kij	0,07	0,2	0,3	0,1	0,05	0,1	0,04	0,05
	tij
	dij
	kij	0,5	0,1	0,25	0,4	0,2	0,15	0,3	0,5
	tij
	dij
	kij	0,2	0,25	0,15	0,4	0,3	0,12	0,2	0,2
	tij
	dij
	kij	0,25	0,2	0,15	0,1	0,3	0,4	0,2	0,25
	tij
	dij
	kij	0,3	0,1	0,05	0,2	0,4	0,2	0,25	0,3
	tij
	dij
	kij	0,2	0,1	0,16	0,3	0,25	0,1	0,4	0,2

Решение варианта *.

1. Запишем все данные на сетевой график.

2;1 4;2

9;5

4;2

7;4

5;3

По первоначальному условию t_кр = 22, т.е. проект может быть выполнен за 22 ед. времени.

2. Составление математической модели задачи.

Чтобы однозначно записать целевую функцию, добавим на сетевом графике фиктивную работу (5,6).

2;1 4;2

9;5

6;4 7;4

4;2

5;3

Целевая функция имеет вид t_кр = t^о₅₆ (min).

Запишем ограничения задачи:

а) сумма вложенных средств не должна превышать их наличного количества:

х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ + х₂₃ + х₃₄ + х₃₅ + х₄₅ £ 47;

б) продолжительность выполнения каждой работы должна быть не меньше минимально возможного времени:

t^о₁₂ - t ^н ₁₂ ³ 3; t^о₃₄ - t ^н ₃₄ ³ 5;

t^о₁₃ - t ^н ₁₃ ³ 4; t^о₃₅ - t ^н ₃₅ ³ 4;

t^о₁₄ - t ^н ₁₄ ³ 1; t^о₄₅ - t ^н ₄₅ ³ 2;

t^о₂₃ - t ^н ₂₃ ³ 2; t^о₅₆ - t ^н ₅₆ = 0;

в) зависимость продолжительности работ от вложенных средств:

t^о₁₂ - t ^н ₁₂ = 5 - 0,5x₁₂; t^о₁₃ - t ^н ₁₃ = 6 - 0,2x₁₃;

t^о₁₄ - t ^н ₁₄ = 2 - 0,3x₁₄; t^о₂₃ - t ^н ₂₃ = 4 - 0,25x₂₃;

t^о₃₄ - t ^н ₃₄ = 9 - 0,4x₃₄; t^о₃₅ - t ^н ₃₅ = 7 - 0,2x₃₅ ;

t^о₄₅ - t ^н ₄₅ = 4 - 0,1x₄₅;

г) время начала выполнения каждой работы должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующей ей работы:

t ^н ₁₂ = 0; t ^н ₁₃ = 0; t ^н₁₄ = 0;

t ^н ₂₃ ³ t^о₁₂;

t ^н ₃₄ ³ t^о₁₃; t ^н ₃₄ ³ t^о₂₃;

t ^н ₃₅ ³ t^о₁₃; t ^н ₃₅ ³ t^о₂₃;

t ^н ₄₅ ³ t^о₁₄; t ^н ₄₅ ³ t^о₃₄;

t ^н ₅₆ ³ t^о₃₅; t ^н ₅₆ ³ t^о₄₅;

д) условие неотрицательности неизвестных:

t ^н _ij ³ 0, t^о_ij ³ 0, x_ij ³ 0, (i,j) Î .

5. Численное решение задачи:

Табличную запись математической модели см. табл.2.4.

Таблица 2.4

Решив данную задачу средствами EXCEL, получаем следующие результаты:

t ^н₁₂ = 0; t^о₁₂ = 3; t ^н₁₃ = 0; t^о₁₃ = 3; t ^н₁₄ = 0; t^о₁₄ = 2;

t ^н ₂₃ = 3; t^о₂₃ = 3; t ^н ₃₄ = 3; t^о₃₄ = 8; t ^н ₃₅ = 3; t^о₃₅ = 10;

t ^н₄₅ = 8; t^о₄₅ = 10; t ^н ₅₆ = 10; t^о₅₆ = 10;

x₁₂ = 20; x₁₃ = 0; x₂₃ = 0; x₁₄ = 0; x₃₄ = 10; x₃₅ = 0; x₄₅ =20,

t_кр = 10.

Результаты представим на сетевом графике:

2;1 4;2

9;5

4;2

7;4

5;3

5. Анализ полученных результатов. При дополнительном вложении 47 ден.ед., проект может быть выполнен за 10 ед. времени. При этом средства распределятся следующим образом: 20 ден.ед. – в работу (1,2), 10 ден.ед. – в работу (3,4) и 20 ден.ед. – в работу (4,5), что приведет к сокращению продолжительности работы (1,2). Сокращение срока реализации проекта за счет вложения дополнительных средств составит 8 ед. времени.

Дата добавления: 2015-08-03