Домашнее задание. Случайные события

Случайные события

1.1 Элементарное и сложное события.
а) Примеры элементарных событий. Упражнения.
б) Сложные события. Примеры. Упражнения.
в) Элементы теории множеств. Упражнения.

Домашнее задание.

a. Основные понятия

Определение 1. Элементарным исходом какого-либо эксперимента называется каждый реально зафиксированный или мысленно возможный результат эксперимента. Каждому элементарному исходу поставим в соответствие его обозначение ω i

Определение 2. Пространством Ω элементарных ucxoдов некоторого эксперимента называется множество всех возможных взаимоисключающих элементарных исходов ω _i этого эксперимента. Таким образом, ω _i ∈Ω.

В примерах 1.1 – 1.5 построить пространства Ω элементарных исходов в указанных опытах.

1.1 Подбрасывается кубик; наблюдаемый результат (н. р.) – число очков, выпавших на верхней грани кубика.

Ответ: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

1.2 Дважды подбрасывается монета; н. р. – появление герба или цифры на верхней стороне монеты.

Ответ: Ω = {гг, гц, цг, цц}.

1.3 Фиксируются вызовы на телефонной станции в течение времени Т; н. р. – число вызовов за промежуток времени Т.

Ответ: Ω = {0, 1, 2,..., n }.

1.4 Монета подбрасывается до первого появления двух гербов подряд; н. р. – число подбрасываний монеты.

Ответ: Ω = {2,..., n,...}.

1.5 Производится радиолокационное обнаружение цели; наблюдаемый результат – положение светящегося пятна на экране индикатора цели, имеющего форму круга радиуса 10 см в декартовой системе координат с началом, совпадающим с центром экрана.

Ответ: Ω = {(x, y): x ²+ y ² ≤100}.

Определение 3. Сложное событие. Событием А называется любое подмножество A ∈Ω пространства элементарных исходов.

Определение 4. Событие А считается наступившим, если эксперимент закончился одним из элементарных исходов ω _i, входящим в множество А: ω _i ∈ A.

В примерах 1.6-1.11 записать пространства Ω элементарных исходов, подмножества, соответствующие указанным событиям.

1.6 Игральная кость подбрасывается дважды; наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших первый и второй раз. Рассматриваются события:

А – оба раза выпало число очков, кратное трём;

В – ни разу не выпало число 6;

С – оба раза выпало число очков, большее 3;

D – оба раза выпало одинаковое число очков.

Решение. Пусть ω ij означает i очков, выпавших первый раз, и j оч-

ков, выпавших второй раз. Тогда

Ω = {ω ij }, i, j =1, 6; n = 36 – число всех элементарных исходов;

{ } 33 36 63 66 A = ω, ω, ω, ω, 4 A m = – число элементарных исходов, вхо-

дящих в событие А;

{ω },, 1, 5; 25 B = ij i j = mB = – число элементарных исходов, входя-

щих в событие В;

{ω },, 4, 6; 9 C = ij i j = mC = – число элементарных исходов, входящих

в событие С;

{ω }, 1, 6; 6 D = ii i = mD = – число элементарных исходов, входящих в

событие D.

1.7 Монета подбрасывается три раза. Н. р. – совокупное появление гербов или (и) цифр на верхней стороне монеты в результате трёхкратного подбрасывания монеты. Рассматриваются события: А – герб выпал один раз; В – ни разу не выпала решка; С – выпало больше гербов, чем решек; D – герб выпал не менее двух раз подряд.

Решение.

Ω = {ггг, ггр, грг, ргг, грр, ргр, ррг, ррр}; n =8 – число всех элементарных исходов; A = {гцц, цгц, ццг}; 3 A m = – число элементарных исходов, входящих в событие А; B = {ггг}; 1 B m = – число элементарных исходов, входящих в событие В; C = {ггц, гцг, цгг, ггг}; 4 С m = – число элементарных исходов, входящих в событие С; D = {ггц, цгг, ггг}; 3 D m = – число элементарных исходов, входящих в событие D.

1.8 Монета подбрасывается до первого появления герба; н. р. – число подбрасываний монеты. Рассматриваются события: А – герб выпал при третьем подбрасывании; В – герб выпал не раньше третьего подбрасывания.

Ответ: Ω = {1, 2,..., n,...}; A = {3}; B = {3, 4,..., n,...}.

Физический пример.

1.9 Имеется цепочка 10 частиц со спином 1/2. Проекция момента импульса на выделенное направления частицы со спином 1/2 может принимать только два значения ћ/2 и – ћ/2. Элементарным событием является спиновое состояние рассматриваемой системы, например, одно из показанных на рисунке.
Если частица заряжена, то она имеет магнитный момент . Проекция полного магнитного момента на выделенное направление равна сумме проекций магнитных моментов всех частиц.
a) Чему равно число элементарных событий составляющих событие: проекция полного магнитного момента на выделенное направление равна ?
б) Чему равно число элементарных событий составляющих событие: проекция полного магнитного момента на выделенное направление равна ?
в) Чему равно число элементарных событий составляющих событие: проекция полного магнитного момента на выделенное направление равна ?
г) Чему равно число элементарных событий составляющих событие: проекция полного магнитного момента на выделенное направление равна ?
д) Чему равно число элементарных событий составляющих событие: проекция полного магнитного момента на выделенное направление равна 0?

Ответ: а) 10; б) 45; в) 120 (); г) 210 (); д) 252 ().

Дополнение. Некоторые комбинаторные формулы.

1.10 Имеется колода из 36 карт. Случайный эксперимент заключается в определении цвета масти вынутой из колоды карты.
а) Чему равно число элементарных событий, заключающихся в вытаскивании 4 каких угодно карт?
б) Чему равно число элементарных событий заключающихся в вытаскивании 4 красных карт?

Ответ: а) Ω=36∙35∙34∙33=1413720; б) Ω=18∙17∙16∙15=73440.

Дата добавления: 2015-07-26