Тип шкалы определяется

1. Группой допустимых ее преобразований F={ f }, переводящих одну систему измерений в другую. Обе эти системы являются гомоморфным образом изучаемой эмпирической системы.

2. Возможностью применения к измерениям операций сравнения, арифметических действий

Возможные преобразования, которые можно применять к шкалам:

1. Тождественное f(x)=x

2. Взаимно–однозначное. Преобразование является отображением f: X®Y, которое является биекцией.

3. Монотонное. На множествах X и Y определены отношения порядка (X, ≥) и (Y, ≥). Если используем отношение строгого порядка (>), порядок – сильный. Если используем (≥) –, соответственно, слабый. Преобразование (отображение) f: X®Y будет являться монотонным, если

4. Линейное преобразование. f(x)= ax+b

5. Подобия. f(x)= a x (изменение масштаба, перевод килограммов в граммы)

6. Сдвига. f(x)=x+a

Чем меньше количество возможных преобразований, тем сильнее шкала.

Допустимые преобразования не меняют соотношений между объектами измерения. Например, при измерении длины переход от дюймов к метрам не меняет соотношений между длинами рассматриваемых объектов - если первый объект длиннее второго, то это будет установлено и при измерении в аршинах, и при измерении в метрах. Обратите внимание, что при этом численное значение длины в дюймах отличается от численного значения длины в метрах - не меняется лишь результат сравнения длин двух объектов.

Номинальная шкала

Логическая основа шкалы – Аксиомы тождества (1. Либо А=В, либо А¹В, 2.Если А=В, то В=А, 3. Если А=В и В=С, то А=С)

Построение номинальной шкалы (шкалы наименований) означает, что измерения (единицы наблюдения) разбиваются на классы. Принадлежность к одному классу эквивалентно равенству значений шкалы для соответствующих измерений.

Допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования. В этой шкале числа используются лишь как метки.

Методы анализа: доступны только методы категориального анализа, меры связи между значениями номинально измеренных переменных. Нет смысла в вычислении среднего медианы, моды.

Кстати

Как вычисляются эти параметры центральной тенденции?

Среднее значение – один из параметров, оценивающих центр распределения переменной x.

Статистическая мода - это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности.

Если X задана дискретно, то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), и это свидетельствует о неоднородности совокупности.

Пример. На предприятии работает 16 человек: 4 из них - со стажем 1 год, 3 человека - со стажем 2 года, 5 - со стажем 3 года и 4 человека - со стажем 4 года.

Стаж (год) 1 2 3 4

Частота 4 3 5 4

Таким образом, модальный стаж М=3 года, поскольку частота этого значения максимальна (f=5).

Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. У одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы.

Если X задан дискретно, то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания, тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).

Например, имеются данные о возрасте студентов-заочников в группе из 10 человек - X:

18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30

Эти данные уже упорядочены по возрастанию, а их количество N=10 – четное, поэтому медиана будет находиться между X с номерами 0,5*10=5 и (0,5*10+1)=6, которым соответствует значения X₅=21 и X₆=23, тогда медиана: Ме = (21+23)/2 = 22 (года).

Порядковая шкала

В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами. Измерения не только разбиваются на классы, но и сами классы упорядочиваются.

Логическая основа шкалы – аксиомы рангового порядка (4. Если А>В, то В<А, 5. Если А>В и В>С, то А>С)

Допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования и монотонные преобразования (монотонно возрастающие, квадрат значения, логарифм – любая монотонно возрастающая функция).

Методы анализа: арифметические операции не имеют значения, доступны непараметрические методы анализа (не зависят от параметров распределения). Используются методы проверки гипотезы о равенстве медианы заданному значению, равенстве двух медиан, дисперсионный анализ, ранговая корреляция (Кендалла, Спирмена).

Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. В средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе ровно тот же смысл выражается словесно - неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Этим подчеркивается "нечисловой" характер оценок знаний учащихся.

Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию. Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале? Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного.

Количественные шкалы - это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная.

Интервальная шкала

Численные значения числовой системы измерения определяются с точностью до системы линейных преобразований. Известна информация не только о том, что один элемент больше другого, но и «насколько» больше.

Интервальная шкала = порядковая шкала + известное расстояние между двумя числами на шкале.

Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения.

Логическая основа – аксиомы 1–5. Не выполняется свойство аддитивности. То есть отношение одного измерения к другому меняется вместе с изменением используемой системы измерения. 100C^o и 0C^o будут соответствовать значения 212F^o и 32F^o. Но отношения разностей будут сохраняться.

Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные, монотонно возрастающие преобразования, т.е. линейные функции.

Пример. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью: ⁰ С = 5/9 (⁰ F - 32), где ⁰ С - температура (в градусах) по шкале Цельсия, а ⁰ F - температура по шкале Фаренгейта.

Имеет смысл утверждение в интервальной шкале 2+3=4+1, но

2+3=5 не имеет (f(2+3)= 5a+b ¹ f(2)+ f(3)= 2a+b+3a+b = 5a+2b)

Методы анализа данных: применима оценка среднего арифметического, дисперсии, сравнение средних для двух совокупностей объектов.

Шкала отношений.

В них есть естественное начало отсчета - нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения (шага, с которым происходит измерение). По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике.

Логическая основа – все представленные выше аксиомы, плюс аксиомы аддитивности (6. Если А=Р и В>0, то А+В > Р, 7. А+В=В+А, 8. Если А=Р и В=Q, то А+Р=В+Q. 9. (А+В)+С=А+(В+С))

Допустимые преобразования шкалы отношений являются преобразования подобия (изменяющие только масштаб). Другими словами, линейные возрастающие преобразования без свободного члена. Примером является пересчет цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу.

Свойство шкалы – отношение двух измерений одинаково при переходе к другой шкале.

Пример. В одной шкале измерения x₁ и x₂. В другой, соответственно, y₁ = ax₁, y₂=ax₂. значений будут, очевидно, равны

Методы анализа. Широкий спектр методов, включая параметрические.

Шкала разностей

В шкале разностей есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета.

Логическая основа – все рассмотренные выше аксиомы

Допустимые преобразования – преобразования сдвига

Методы анализа. Широкий спектр методов, включая параметрические.

Пример шкал разностей – различного рода солнечные календари (Юлианский, Григорианский, Всемирный…)

Время измеряется по шкале разностей, если год (или сутки - от полудня до полудня) принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. На современном уровне знаний естественного начала отсчета указать нельзя. Дату сотворения мира различные авторы рассчитывают по-разному, равно как и момент рождества Христова. Так, согласно новой статистической хронологии, разработанной группой известного историка акад. РАН А.Т.Фоменко, Господь Иисус Христос родился примерно в 1054 г. по принятому ныне летоисчислению в Стамбуле (он же - Царьград, Византия, Троя, Иерусалим, Рим).

Абсолютная шкала

Для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Известно начало отсчета (0 – нуль числовой оси) и единица измерения (целые числа)

Примером является число людей в комнате.

Допустимое преобразование – только тождественное преобразование.

Методы анализа. Широкий спектр методов, включая параметрические.

Пример. Возраст респондента, число студентов в классе.

Изменение типов шкал в исторической ретроспективе

В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может меняться.

Температура.

Сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее - теплее).

Затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра).

После открытия абсолютного нуля температуру можно считать измеренной по шкале отношений (шкала Кельвина).

Среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины. Другими словами, процесс измерения включает в себя и определение типа шкалы (вместе с обоснованием выбора определенного типа шкалы). Кроме перечисленных шести основных типов шкал, иногда используют и иные.

Дата добавления: 2015-07-24