Т.е с.в. независимы. А из независимости следует некоррелированность. Поэтому для нормального распределения условия некоррелированности и независимости эквивалентны.

Применение:

Нормальное распределение встречается очень часто. Считается, что оно отражает реальную жизнь. Например, рост людей на всей планете, в большой стране или даже в одном городе распределен нормально. Это значит, что значительная часть людей имеет средний рост, а отклонения от него в большую или меньшую сторону встречаются примерно одинаково. Причем чем больше отклонение, тем реже оно встречается.

Нормальным распределением также описываются различные ошибки измерений, агрегирующие экономические показатели, разброс параметров изделий при производстве и многие другие величины. Также распределение результатов при игре на фондовом рынке.

Так почему же именно к такой форме стремятся распределения многих случайных величин?

Во-первых, Нормальность распределения образуется вследствие того, что на итоговое значение влияет много разных величин, причем влияние каждой из них незначительно. Величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, которые могут вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, часто подчиняется нормальному распределению (ЦПТ).

Вторая причина заключается в свойстве 4, сумма нормальных распределений, является нормальным распределением. Например, суммарный рост семейной пары тоже распределено нормально.

Кроме того, многие другие распределения (например, гамма-распределение, биномиальное) стремятся к нормальному при определенных значениях параметров. Следовательно, нормальное распределение можно использовать для их аппроксимации.

Если исследуемый процесс подчиняется нормальному закону распределения (о чем принимается соответствующая статистическая гипотеза, проверяемая по различным критериям), то его статистический анализ существенно упрощается. В частности, предположение о нормальности распределения коэффициентов регрессии используется в регрессионных моделях.

Многомерная центральная предельная теорема

Пусть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных векторов, каждый из которых имеет среднее и невырожденную матрицу ковариаций Пусть тогда

по распределению при.

Критика:

Последнее время ведутся споры по поводу широкого применения нормального распределения.

Статистические модели и методы, основанные на нормальном распределении, часто применяются без элементарной проверки: похоже ли реальное эмпирическое распределение на нормальное.

А ведь во многих случаях распределение(доходности или прибылей фондового рынка) имеет скошенность (ненормальность) и/или эксцесс («тяжелые хвосты»).

Было доказано, доходности ценных бумаг могут быть описаны распределением Парето, которое характеризуется бесконечной дисперсией.

К тому же случаи экстремального поведения рынков происходят чаще, чем «допускается» статистически и, когда это случается, модели демонстрируют свою полную недееспособность.(правило трех сигм)

Многие исследования говорят о том, что показатели большинства социальных, экономических и природных систем не подчиняются нормальному закону распределения. Но если утверждать что фондовый рынок не подчиняется нормальному закону, то тогда множество хорошо проработанных методов статистического анализа (коэффициент корреляции, матожидание, дисперсия) могут давать не правильные результаты.

К тому же, факторы, влияющие на величину, могут быть зависимы. Нарушаются условия ЦПТ.

Таким образом, нормальное распределение не отражает действительность. А многие модели разработаны на основе предположения о нормальности распределения и могут давать совершенно неверные результаты.

Дата добавления: 2015-07-24