Порядок выполнения работы. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

РАБОТА С МАТРИЦАМИ

Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

Рассмотрим решение линейных систем по формулам Крамера. Пусть

cистема n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁, x₂,..., x_n.

Матрица называется матрицей системы, а вектор-столбец b = ( b₁ b₂... b_n )^T - столбцом правых частей системы. Рассмотренная система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричной форме в виде Ах = b, где х - вектор-столбец неизвестных,

х = ( х₁ x₂... x_n )^T.

Справедливо следующее утверждение. Если определитель D = det A матрицы системы

Ах = b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁, х₂,..., x_n, определяемое формулами Крамера х_i = , где D _i определитель матрицы n-го порядка, полученной из матрицы системы заменой i -го столбца столбцом правых частей.

Порядок выполнения работы

Задание. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3. Введите матрицу и столбец правых частей.

4. Вычислите определитель матрицы.

5. Вычислите определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.

Указание. Для вычисления определителей D1, D2, D3, D4 проще всего скопировать матрицу А в буфер обмена (<Ctrl>+<C> или пункт Copy меню Edit), затем вставить в помеченной позиции матрицу из буфера обмена (<Ctrl>+<V> или пункт Insert меню Edit) и затем заменить элементы соответствующего столбца элементами столбца правых частей.

6. Найдите по формулам Крамера решение системы.

2. Решение матричных уравнений [1]

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

Эта система в "свернутом" виде может быть записана в виде

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде Ах = b, где

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы;

Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы.

Матрица-столбец х, элементы которой искомые неизвестные, называется решением системы.

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричном виде в виде простейшего матричного уравнения* Ах = b.

Если матрица системы невырожденная[2], то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения Ах = b слева на матрицу , а поскольку и Ex = x, то .

---

Дата добавления: 2015-07-20