Параллельное соединение элементов R, L, C

На вход электрической цепи (рис. 2.14), состоящей из соединенных параллельно элементов R, L, C, подано синусоидальное напряжение

u(t)=U_msin(ωt+ψ_u).

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений токов цепи:

.

Сумме синусоидальных токов соответствует сумма изображающих их комплексных величин. И для действующих комплексных значений можно записать

Величину - называют комплексной проводимостью цепи с параллельным соединением элементов R, L, C, которая определяется как сумма проводимостей параллельных ветвей;

активная составляющая проводимости;

- реактивная индуктивная составляющая проводимости;

- реактивная емкостная составляющая проводимости.

Запишем комплексную проводимость в показательной форме:

.

Тогда комплексный ток

,

где - действующее значение входного тока;

- начальная фаза тока;

- угол сдвига фаз между напряжением на зажимах цепи и входным током, который определяется соотношением активной и реактивной проводимостей.

Построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 2.15) на зажимах цепи, приняв начальную фазу напряжения за ноль.

Ток активного элемента совпадает по фазе с напряжением, поэтому на векторной диаграмме вектор этого тока изображается параллельно вектору напряжения. Ток индуктивного элемента отстает от напряжения на 90 градусов, поэтому на векторной диаграмме индуктивный ток повернут относительно вектора напряжения на 90 градусов по направлению движения часовой стрелки. Ток емкостного элемента опережает напряжение на 90 градусов, поэтому емкостный ток повернут относительно вектора напряжения против направления часовой стрелки на 90 градусов.

Необходимо отметить, что ток индуктивного и емкостного элементов находятся в противофазе, вследствие чего в цепи переменного тока при параллельном соединении этих элементов могут создаваться условия, невозможные для цепей постоянного тока, когда токи отдельных элементов будут значительно превышать входной ток.

Треугольник, образованный векторами токов, принято называть треугольником токов.

Если каждую сторону треугольника токов поделить на вектор напряжения, то получим треугольник (рис. 2.16), подобный исходному и называемый треугольником проводимостей.

Как видно из полученных векторных диаграмм (рис. 2.15 и 2.16), угол сдвига фаз зависит от соотношения параметров цепи:

при I_L>I_C () угол φ>0, ток отстает по фазе от напряжения;

при I_L<I_C () угол φ<0, ток опережает по фазе напряжение;

при I_L=I_C () угол φ=0, ток совпадает по фазе с напряжением и цепь ведет себя как чисто активное сопротивление; такой режим работы цепи называется режимом резонанса токов.

Расчет токов и напряжений при смешанном

соединении приемников

Расчет цепи переменного тока существенно облегчается, если синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т.д. изображать векторами и комплексными числами. Тогда для расчета цепей синусоидального тока можно применять все те методы, которые использовались для расчета цепей постоянного тока, только все токи, напряжения и сопротивления необходимо записывать в комплексной форме записи.

Рассмотрим решение прямой и обратной задачи для цепи с одним источником энергии рис. 2.17.

Прямая задача: при известных параметрах цепи R, R_к, L_к, C и токе третьей ветви I₂ определить все остальные токи и напряжения. Частота питающей сети f. Расчет синусоидальных токов и напряжений удобно выполнять в комплексной форме записи.

Примем начальную фазу тока второй ветви равной нулю

Комплексные сопротивления ветвей:

где - угловая частота.

Зная ток I₂в одной из параллельных ветвей, найдем напряжение на зажимах этих ветвей по закону Ома:

Ток третьей ветви найдем:

Ток I₁ в неразветвленной части цепи найдем, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для узла «2»:

Напряжение на зажимах первой ветви

Напряжение на зажимах цепи найдем, составив уравнение по второму закону Кирхгофа:

Построение векторной диаграммы удобно начинать с вектора тока второй ветви. Длины векторов токов и напряжений на векторной диаграмме откладываются в соответствующих масштабах по току m_i и напряжению m_u.

Начальная фаза тока равна нулю В соответствующем масштабе токов изобразим вектор на комплексной плоскости, совпадающим с осью действительных чисел (рис. 2.18).

Напряжение изображаем на векторной диаграмме совпадающим по фазе с током второй ветви, так как сопротивление этой ветви чисто активное. Ток третьей ветви İ_3, в которую включен идеальный конденсатор, опережает напряжение параллельных ветвей на угол 90°.

Согласно первому закону Кирхгофа . По правилу параллелограмма складываем вектора токов İ₂, İ₃ и получаем вектор тока İ₁.

Напряжение опережает ток этого участка на угол φ₁. Вектор входного напряжения получаем путем суммирования векторов согласно второму закону Кирхгофa

Начальные фазы, построенных токов и напряжений, должны совпадать с расчетными. Длины векторов в масштабе тока или напряжения должны соответствовать действующим значениям рассчитанных величин.

Обратная задача. Рассчитать токи и напряжения на всех участках электрической цепи, схема которой показана на рис. 2.7, питающейся от источника синусоидального напряжения с частотой f.

Известны параметры цепи R, R_к, L_к, C и величина напряжения на источнике

Комплексные сопротивления ветвей определяем аналогично предыдущей задаче:

Для того, чтобы по закону Ома определить ток на входе цепи, необходимо рассчитать комплексное сопротивление цепи относительно входных зажимов.

Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно, поэтому эквивалентное сопротивление относительно зажимов «23» можно рассчитать:

Относительно входных зажимов сопротивление катушки и сопротивление участка «23» соединены последовательно, поэтому входное сопротивление всей цепи можно определить как сумму комплексных сопротивлений

Определим входной ток по закону Ома

Напряжения на участках цепи:

Токи параллельных ветвей определим по закону Ома:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений участков цепи (рис. 2.18). Для этого на комплексной плоскости в соответствующих масштабах тока m_i и напряжения m_u построим вектора рассчитанных напряжений и токов со своими начальными фазами. На векторной диаграмме покажем выполнение законов Кирхгофа:

,

Дата добавления: 2015-07-24