Векторами и комплексными числами

Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, имеющие частоту ω, можно изображать векторами, вращающимися с угловой скоростью, равной ω, причем длина вектора определяется в соответствующем масштабе амплитудой ЭДС, напряжения или тока.

Пусть мы имеем две синусоидальные ЭДС

и .

Изобразим их в виде векторов в момент времени равный нулю (рис. 2.3). Начальные фазы этих синусоидальных ЭДС откладываются от горизонтальной оси против часовой стрелки, если они положительны, и по часовой стрелке, если они отрицательны. Длины векторов равны соответствующим амплитудным значениям.

Найдем ЭДС е(t), равную сумме ЭДС е₁ и е₂. Тогда эта ЭДС будет изображаться вращающимся вектором, равным геометрической сумме векторов, изображающих ЭДС е₁ и е₂.

В любой момент времени взаимное расположение этих вращающихся векторов будет оставаться неизменным, поэтому достаточно построить вектора в момент времени равный нулю, и все операции выполнять над ними.

Совокупность векторов, характеризующих процессы, происходящие в той или иной цепи синусоидального тока, и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе для момента времени равного нулю, называют векторной диаграммой.

Так как обычно мы интересуемся действующими значениями синусоидальных функций, которые в раз меньше их амплитуд, то целесообразно на векторной диаграмме длину векторов выбирать равной, в избранном масштабе, действующим значениям ЭДС, напряжений или токов. На рис. 2.4 изображена векторная диаграмма напряжения и тока, причем ток отстает от напряжения на угол φ, который на векторной диаграмме всегда показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Какую-либо синусоидальную функцию, например,

можно изобразить вектором (рис. 2.5) на комплексной плоскости или записать в виде комплексного числа в показательной форме ,

где - модуль комплексного числа, равный действующему значению синусоидальной функции, который на векторной диаграмме соответствует длине вектора в выбранном масштабе напряжений;

ψ – аргумент комплексного числа, соответствующий начальной фазе синусоидальной функции, которая на комплексной плоскости откладывается от положительного направления оси действительных чисел;

j = - мнимое число.

Комплексная величина в соответствии с формулой Эйлера может быть записана также в тригонометрической и алгебраической формах записи:

где - действительная часть комплексного числа;

- мнимая часть комплексного числа.

Для обратного перехода от алгебраической к показательной форме записи необходимо найти модуль этого комплексного числа с помощью теоремы Пифагора (рис. 2.4) и аргумент путем определения тангенса соответствующего угла:

, .

Полностью все формы записи комплексной величины и связь между ними можно записать:

Дата добавления: 2015-07-24