Математические действия над приближенными числами

Обрабатывая результаты измерений, выполняют различные мате-матические операции (сложение, вычитание, умножение и т. д.) над при-ближенными числами. Приближенный характер исходных данных ограни-чивает точность получаемого результата (результат тоже будет прибли-женным числом). Пытаться путем расчетов получить результат с точно-стью большей, чем это допускают исходные данные задачи, бессмыслен-но. Например, для измерения длины какого-либо предмета использовалась линейка с миллиметровыми делениями; получены следующие результаты: 121, 121, 122, 121, 122, 121 мм. При определении окончательного ответа

не имеет смысла писать l=121,3 мм или l=121,33 мм. Ведь длина предмета ни в одном из опытов не измерялась до десятых или сотых долей милли-метра, а предполагать их все равными нулю (только при таком предполо-жении получается l =121,3 мм или l =121,33 мм) нет никаких оснований. Для повышения точности результата необходимо повысить точность изме-рений (например, использовать более точный прибор), а не пытаться это сделать с помощью карандаша и бумаги.

Для того, чтобы определить, сколько значащих цифр следует сохра-нять в результате, необходимо найти его абсолютную погрешность. Одна-ко если бы пришлось рассчитывать погрешность каждого промежуточного результата вычислений, то любая, даже самая простая задача стала бы очень громоздкой. Поэтому в подобных случаях поступают иначе: пользу-ются правилами приближенного определения количества сохраняемых значащих цифр при различных математических операциях.

1. Сложение и вычитание. Прежде всего слагаемые записывают в форме без множителя в виде десяти в какой-либо степени или с множи-телем одной и той же степени (этот множитель выносится за скобки). Оп-ределяют те разряды, в которых в каждом из слагаемых стоят сомнитель-ные цифры. Находят из этих разрядов самый старший. Сомнительная циф-ра в сумме (разности) будет стоять в этом же разряде. Поэтому при сложе-нии или вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько таковых в слагаемом с наименьшимих количеством.

При суммировании большого количества приближенных чисел надежность последней цифры результата может и уменьшиться и даже стать сомнительной цифра более высокого разряда. Поэтому рассмат-риваемые правила являются приближенными.

При вычитании двух близких по величине чисел в результате может не оказаться ни одной верной цифры. Такой результат весьма ненадежен и поэтому подобных ситуаций надо избегать. К примеру, толщину стенки трубки можно определить как половину разностиее внешнего и внутрен-него диаметров. Если стенки тонкие, т.е. диаметры почти одинаковые, то из-за погрешностей измерений, эллиптичности сечения трубки и других причин результат будет весьма неточным и может получиться даже отри-цательным. В подобном случае толщину стенки следует измерять непос-редственно.

Если вычитанне неизбежно, то необходимо повысить точность ис-ходных данных.

2. Умножение и деление. При умножении и делении приближенных чисел с одинаковым количеством значащих цифр в результате следует сохранять столько же значащих цифр.

В общем случае, когда количество значащих цифр в сомножителях различно, в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько в сомножителе с наименшим их количеством.

3. Возведение в степень. Поскольку возведение в степень пред-ставляет собой произведение одинаковых сомножителей, то в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в сте-пень приближенное число. Надежность последней цифры результата при возведении в степень, как и при умножении, меньше, чем последней циф-ры основания. Причем это сказывается тем заметнее, чем больше показа-тель степени.

4. Извлечение корня. При извлечении корня любой степени из при-ближенного числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении. Например, Ö5,208 = 2,282.

5. Логарифмирование. В мантиссе (независимо от характеристики) логарифма приближенного числа сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет само число. Аналогичное правило справедливо и при на-хождении числа по его логарифму: количество значащих цифр в искомом числе должно быть равным их количеству в мантиссе. Например, lg 22,15 = 1,3454; если 1g х = 0,649, то x = 4,46.

6. Правило запасной цифры. В промежуточных результатах, т.е. в тех приближенных числах, которые используются в последующих расчетах, для уменьшения в дальнейшем влияния ошибок округления следует со-хранять на одну значащую цифру больше, чем это рекомендуется выше-изложенными (см. пп. 1–5) правилами. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается. Правило запасной цифры следует ис-пользовать также и в исходных данных каждой задачи, если они, конечно, это позволяют.

8. Цифра 0 в последнем разряде приближённого числа

В любом из разрядов приближенного числа могут быть разные цифры: 0, 1, 2,..., 9. В частности, цифра 0 может быть верной цифрой последнего разряда приближенного. При этом в случае приближенных чисел (в отличие от чисел точных) записи 8,3; 8,30 и 8,300 отличаются друг от друга. Запись 8,3 означает, что в этом приближенном числе верными являются целые и десятые доли (сотые, тысячные и т. д. доли неизвестны). Истинное значение числа заключено в ннтервале [8,25; 8,34]. Запись 8,30 указывает, что верны также и сотые доли, причем их оказалось нуль; интервал для истинного значения другой [8,295; 8,304] и, следовательно, иная точность определения числа. Если записано 8,300, то это означает, что верными являются также тысячные доли, которых оказалось нуль. Интервал для истинного значения числа в этом случае более узкий [8,2995; 8,3004).

Из приведенного примера ясно, что отбрасывание нулей в последних разрядах приближенных чисел уменьшает их точность, а произвольное приписывание нулей вносит ложную информацию. Распространенной ошибкой такого рода является случай, когда приближенное число выражают в различных единицах измерения. Например, невернымн яв-ляются записи: 10,2 м = 1020 см, 10,2 м = 10200 мм. Следует сохранять в любой форме одинаковое количество значащих цифр: 10,2 м = 1,02×10³ см =1,02 10⁴ мм. Еще пример. Длина проволоки l = 900 мм. При исполь-зовании записи l = 90 см или l = 0,9м, как и при всяком округлении, потеряна часть информации (в последней записи сведения о сотых и тысячных долях метра). Следовательно понизилась и точность результата.

Дата добавления: 2015-07-20