Теоретическое введение

Лабораторная работа № 1.10

Маятник Максвелла

Методические указания

к лабораторной работе
по курсу общей физики

Составитель А. И. Назаров, д.п.н., к.ф.-м.н., профессор кафедры общей физики

Рецензент О. Я. Березина, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей физики

Петрозаводск

Маятник Максвелла

Цель работы

Осуществить экспериментальную проверку закона сохранения механической энергии с помощью маятника Максвелла.

Задачи

1. Установить характер движения маятника Максвелла. Исходя из результатов эксперимента, рассчитать ускорение центра масс маятника.

2. Определить момент инерции маятника Максвелла относительно оси, проходящей через его центр масс.

3. Проверить применимость закона сохранения механической энергии к описанию движения маятника Максвелла.

4. Оценить величину момента силы трения качения.

Приборы и принадлежности

Датчик (световой барьер); секундомер; штатив; штангенциркуль; линейка; источник питания (адаптер) 5 В/2.4 А; маятник Максвелла, состоящий из: колеса, насаженного на металлический стержень; двух нитей, намотанных на этот стержень и закрепленных в держателе.

Теоретическое введение

Момент силы относительно произвольной точки. Пусть частица A движется относительно точки О под действием произвольной силы F (рис. 1). Моментом силы M относительно некоторой точки О называется векторное произведение радиус-вектора r частицы на вектор этой силы:

M = [ r, F ]. (1)

Рис. 1. Определение величины и направления вектора момента силы,
действующей на материальную точку

Вектор момента силы перпендикулярен плоскости, в которой находятся r и F. Направление вектора M задается в соответствии с правилом векторного произведения. Вектора r и F изображают исходящими из одной точки и мысленно связывают с ними правый винт (рис. 1). Затем головку винта поворачивают по кратчайшему пути от r к F. Направление вектора M совпадает с направлением поступательного движения винта.

Модуль (величина) вектора момента сил рассчитывается как

M = r·F·sin(α) = F·R, (2)

где R = r·sin(α) – плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до линии действия силы (рис. 1).

Моментом силы относительно закрепленной оси Z называется величина, равная проекции вектора момента сил M на данную ось, взятого относительно произвольной точки O, расположенной на этой оси (рис. 2).

M_z = [ r, F ]_z. (3)

Рис. 2. Момент внешней силы относительно закрепленной оси:

F_τ - тангенциальная составляющая силы;

F_n - нормальная составляющая силы;
F _׀׀ - составляющая силы, параллельная оси вращения

Момент внешней силы M_z относительно закрепленной оси Z создается исключительно тангенциальной составляющей внешней силы F и характеризует способность этой силы вращать тело относительно оси Z. Из последнего утверждения вытекает условие равновесия твердого тела. Если сумма моментов сил относительно произвольной оси равна нулю, то тело находится в положении равновесия относительно этой оси.

Моментом инерции частицы массой m относительно оси вращения называется величина, равная:

I = m·R², (4)

где R – кратчайшее расстояние от оси вращения до частицы.

Момент инерции системы точек равен сумме моментов инерций ее частей:

I = Σm_i·R_i², (5)

где i – порядковый номер частицы.

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерций его частей и рассчитывается путем интегрирования по всему телу:

(6)

Из (6) следует, что момент инерции твердого тела зависит от:

· массы тела;

· формы и размеров тела;

· распределения массы относительно оси вращения.

Формулы для расчета моментов инерции некоторых симметричных однородных тел приведены в таблице 1.

Таблица 1. Формулы для расчета моментов инерции некоторых однородных симметричных тел

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной точки можно сформулировать следующим образом: произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно суммарному моменту внешних сил, действующих на это тело:

M = I· ε. (7)

Важно, что в этом уравнении моменты сил и инерции берутся относительно оси, вокруг которой происходит вращение.

Момент силы M относительно точки O, в которой закреплено тело, характеризует способность силы вращать тело вокруг этой точки. Причем поворот произойдет вокруг оси, параллельной вектору результирующего момента внешних сил M, взятому относительно точки O. Таким образом, при вращательном движении твердого тела относительно закрепленной точки результат силового воздействия характеризуется величиной и направлением вектора момента силы.

Для описания движения тела относительно закрепленной оси необходимо спроецировать уравнение (7), представляющее собой основной закон динамики вращательного движения, на эту ось:

M_z = I_z·ε. (8)

Уравнение (8) позволяет рассчитать угловое ускорение относительно закрепленной оси. Важно помнить, что твердое тело приобретет угловое ускорение под действием тангенциальной составляющей внешней силы, создающей проекцию момента сил M_z = M _τ, отличную от нуля.

Рассмотрим динамику движения маятника Максвелла. Вектора сил, действующих на маятник Максвелла (рис. 3), показаны на рис. 4: m·– масса стержня и насаженного на него колеса; g – ускорение свободного падения; Т – сила натяжения нити.

Рис. 3. Общая схема установки «Маятник Максвелла»

Рис. 4. Силы, действующие на маятник Максвелла:

Закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) для маятника Максвелла, в проекции на вертикальную ось имеет вид:

m·a_x = m·g – 2T, (9)

где a_x – проекция линейного ускорения стержня (центра масс колеса) на вертикальную ось.

Основной закон динамики вращательного движения маятника Максвелла в проекции на ось вращения Z (продольная ось стержня), сонаправленную вектору угловой скорости, имеет вид:

M_z = I·ε_z. (10)

Момент силы натяжения нити равен векторному произведению
M = [ r, 2 T ], где r – радиус стержня. Поскольку вектора r и T взаимно перпендикулярны, то проекция вектора момента силы натяжения на ось Z рассчитывается как:

M_z = 2r·T. (11)

Учитывая, что в отсутствие проскальзывания нити ускорение поступательного движения груза численно равно тангенциальному ускорению точек стержня a_x = a_t, расположенных на его внешней поверхности, получим

a_x = a_t = ε·r. (12)

Из системы уравнений (9)—(12) рассчитаем проекцию вектора ускорения на вертикальную ось:

a_x = m·g·r²/(m·r² + I). (13)

При этом суммарная сила натяжения нитей равна

2T = I·m·g/(m·r² + I). (14)

Следовательно, маятник Максвелла совершает равноускоренное поступательное движение. При этом колесо вращается вокруг своей оси симметрии под действием постоянного момента сил натяжения нитей с угловым ускорением, равным ε = a_x/r.

В случае выполнения неравенства m·r² << I ускорение стержня и скрепленного с ним колеса можно рассчитать по формуле

a_x = m·g·r²/I. (15)

Из уравнения (13) следует, что выполнение неравенства m·r² << I вызывает движение груза, привязанного к нити, с ускорением a_x много меньшим ускорения свободного падения a_x << g.

Для стержней малого радиуса (много меньшего радиуса колеса) согласно (15) угловое ускорение маятника Максвелла пропорционально моменту силы тяжести и обратно пропорционально моменту инерции, взятому относительно оси вращения колеса.

Определив из эксперимента величину ускорения, исходя из (15) можно рассчитать момент инерции маятника Максвелла

I = m·g·r²/a_x. (16)

Анализ движения маятника Максвелла из закона сохранения механической энергии. Уравнение (13) можно получить исходя из закона сохранения механической энергии, применимого к рассматриваемой ситуации в случае отсутствия трения в системе и сопротивления среды. Полная механическая энергия E маятника Максвелла равна сумме его потенциальной энергии, кинетической энергии поступательного движения центра масс колеса и кинетической энергии его вращательного движения.

, (17)

где х – положение центра масс колеса,

ω – угловая скорость маятника,

u_c – скорость движения центра масс колеса.

Используя соотношение между линейной скоростью u точек, расположенных на ободе колеса, и угловой скоростью ω

u = ω×r,

и условие отсутствия проскальзывания колеса относительно нити

u = u_c

получим, что полная механическая энергия маятника Максвелла равна

, (18)

где s – расстояние, пройденное центром масс колеса с момента начала движения маятника Максвелла.

Уравнение (18) справедливо при нулевых начальных условиях, т. е. если значение потенциальной энергии маятника отсчитывать его исходного положения, в котором он покоится. Пренебрегая силами трения и сопротивления, в соответствии с законом сохранения механической энергии имеем:

(19)

Сократив (19) на u_с (t), получим, что центр масс колеса движется равноускоренно с ускорением a = du_с/dt, рассчитываемым по формуле (13).

Следовательно, зависимость пути, пройденного центром масс колеса, от времени будет выглядеть как

(20)

Продифференцировав (20), получим зависимость скорости движения центра масс колеса от времени

(21)

Дата добавления: 2015-07-24