Случай функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа.

Даны две функции: − целевая функция и − функция связи. Кривую с уравнением мы будем называть линией связи и обозначать .

Определение. Точка называется точкой условного максимума функции при выполнении условия связи , если в некоторой окрестности для всех других точек , выполняется неравенство . Ясно как определить условный минимум, условный экстремум.

Предположим, что функции принадлежат классу в окрестности точки , и что . Образуем так называемую функцию Лагранжа .

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума). Если − точка условного экстремума при условии связи , то существует значение такое, что . (Последнее из этих уравнений равносильно условию .)

Доказательство. По теореме о неявной функции существует решение уравнения связи такое, что и при этом . Обозначим . По условию теоремы − точка экстремума этой функции. Поэтому , и мы имеем

= .

Из равенства нулю определителя следует пропорциональность его строк. Поэтому существует такое число , что и или , . Остается заметить, что , а это равносильно равенству . Доказательство закончено.

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума.) Предположим, что выполнены достаточные условия из теоремы 1. Пусть при этом известно, что функции и принадлежат классу в окрестности точки и . Рассмотрим квадратичную форму

,

где дифференциалы связаны соотношением . Если полученная после указанной подстановки форма положительно определена, то − точка условного минимума. Если полученная форма отрицательно определена, то − точка условного максимума.

Доказательство. На линии функции и совпадают, поэтому вместо функции можно исследовать на экстремум вдоль линии функцию Лагранжа .

Перейдем по кривой из точки в точку , т.е. . При этом будет

, так как по условию теоремы .
Заменяя и учитывая, что , получим:

. Поэтому

.

Отсюда сразу следует, что знак приращения такой же, как знак упомянутой квадратичной формы. Ч. и т.д.

Пример. Решим вторым способом задачу, с которой мы начинали тему. Снова и снова . На этот раз мы применим метод неопределенных множителей. Для этого составляем функцию Лагранжа . Используем необходимые условия экстремума. Так как , , приходим к системе

. Решая систему, находим , , .

Применим теперь теорему о достаточных условиях экстремума. Так как , , , то квадратичная форма имеет вид . Учитывая, что из уравнения связи следует равенство или , получим . А так как , то мы снова видим, что − точка условного минимума.

Обобщение. Сходные формулировки необходимого и достаточного условий экстремума справедливы и в случае целевой функции , где Rⁿ, R^m. В этом случае условия связи − это уже система из уравнений: . Вместо условия , приходится требовать, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля. Наконец, функция Лагранжа содержит неопределенных коэффициентов. Именно, .

Дата добавления: 2015-07-20