Метод областей 6 страница

27. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет четыре корня.

Решение. 1. Исходное уравнение при имеет два корня, так как оно принимает вид .

2. Пусть

Сделаем замену , где

а) Если то уравнение имеет единственный корень. Для любого уравнение имеет два различных корня

или .

б) Пусть

Так как и то исходное уравнение принимает вид

, где и (27.1)

Исходное уравнение имеет четыре корня, если уравнение (27.1) имеет два различных положительных корня.

Так как то уравнение (27.1) равносильно уравнению

(27.2)

Замечание. Квадратное уравнение имеет два положительных корня тогда и только, когда

Итак, квадратное уравнение (27.2), а значит и квадратное уравнение (27.1) имеет два положительных корня тогда и только, когда выполняется условие

Итак, квадратное уравнение (27.2) имеетдва положительных корня,если Тогда исходное уравнение имеет четыре различных корня при

Ответ.

28. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Очевидно, для любых значений выполняется двойные неравенства , .

Обозначим Исходное уравнение принимает вид

Так как функция возрастает и то . Тогда последнее уравнение, а значит и исходное уравнение, равносильно уравнению

Итак, исходное уравнение равносильно уравнению

(28.1)

Так как то уравнение (28.1), значит и исходное уравнение, имеет решение, если

Итак, исходное уравнение имеет решение, если .

Найдём, при каких значениях параметра а имеет единственное решение уравнение

где . (28.2)

Первый способ.

Имеем

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (28.3).

Это уравнение имеет единственное решение, в двух случаях.

а) Уравнение , где имеет два корня,

которые лежат по разные стороны от числа 3. В этом случае рассматриваемое уравнение имеет единственный корень, не равный 3.

Замечание. Квадратное уравнение имеет два корня, которые лежат по разные стороны от числа тогда и только, когда

Из замечания следует: уравнение , где имеет два корня, которые лежат по разные стороны от числа 3 тогда и только, когда

Из последнего неравенства следует: первое уравнение совокупности

(28.3) не имеет корней, которые лежат по разные стороны от числа 3.

б) Корнем уравнения , где является число 3.

Легко проверить, что число, равное 3, является корнем рассматриваемого уравнения при

Итак, если то первое уравнение совокупности (28.3) имеет единственный корень.

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (28.3).

Это уравнение имеет единственное решение, в двух случаях.

а) Уравнение , где имеет два корня, которые лежат по разные стороны от числа 5. В этом случае рассматриваемое уравнение имеет единственный корень, не равный 5.

Из замечания следует: уравнение , где имеет два корня, которые лежат по разные стороны от числа 5 тогда и только, когда

Из последнего неравенства следует: второе уравнение совокупности (28.3) не имеет корней, которые лежат по разные стороны от числа 5.

б) Корнем уравнения , где является число 5.

Легко проверить, что число, равное 5, является корнем рассматриваемого уравнения при

Итак, если то второе уравнение совокупности (28.2) имеет единственный корень.

Так как первое уравнение совокупности (28.3) имеет единствен-

ный корень при а второе – при то совокупность (28.3), а значит и исходное уравнение, имеет единственный корень, если

Второй способ.

2. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению , где .

Для построения множества точек проделаем следующее.

1) Приравняем нулю выражение, стоящие под знаком модуля и получим уравнение . Построим прямую . Эта прямая разобьют плоскость на 2 области. В области I выполняется неравенство а в области II –

2) Рассмотрим исходное уравнение в каждой области.

В области I, где исходное уравнение равносильно уравнению

а) Если то Тогда . Прямая проходит через точки В области I через точки проводим часть прямой .

б) Если , то Тогда . Прямая

проходит через точки В области I через точки проводим часть прямой .

В области II, где исходное уравнение равносильно уравнению

а) Если то Тогда . Прямая проходит через точки В области II через точки проводим часть прямой .

б) Если , то Тогда . Прямая проходит через точки В области II через точки проводим часть прямой .

Из рисунка 31(масштаб на осях координат разный) следует: исходное уравнение, имеет единственный корень, если

Третий способ.

Рассмотрим функции

где .

Графиком функции , где , является «уголок» с вершиной в точке (4;–1), проходящий через точки (3;0) и (5;0).

Графиком функции , где , является «подвижный уголок» с вершиной в точке .

Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть

Из рисунка 32 а) следует, что уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение, если имеет не менее двух корней.

2) Пусть

Замечание. Точка пересечения прямых , где находится из системы

Уравнение (28.2) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда имеет решение одна из систем (рис. 32 б), в))

а) Из замечания следует, что ордината точки пересечения системы (28.3) – это . Система (28.4) имеет решение, если

Решением последней системы является . Решением системы (28.4) является точка (5; 0). Итак, уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение при , имеет единственный корень:

б) Из замечания следует, что ордината точки пересечения системы (28.5) – это . Система имеет решение, если

Решением последней системы является . Решением системы (28.5) является точка (3; 0). Итак, уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение при , имеет единственное решение

Итак, если , то уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение, имеет единственное решение.

Ответ.

29. Найдите все значения параметра а, если , при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию .

Решение. 1. Так как , то левая часть уравнения не больше 5.

Так как, левая часть уравнения не больше 5, правая – равна 5, то исходное уравнение равносильно системе

2. Так как по условию задачи , то из второго уравнения системы (29.1), имеем

Из последнего двойного неравенства следует, что или .

а) Если , то

Подставим в первое уравнение системы (29.1) и получим

Так как и по условию задачи , то

Из последнего двойного неравенства следует, что или .

Если , то Если , то

б) Если , то

Подставим в первое уравнение системы (29.1) и получим

Так как и по условию задачи , то

Ни одно значение не удовлетворяет последнему двойному неравенству.

Ответ. или

30. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Решение. Имеем: и .

Таким образом, левая часть данного уравнения не больше и равна только в случае, когда , а правая часть не меньше и равна только в случае, когда . Тогда исходное уравнение равносильно системе

Из последней системы следует ответ.

Ответ. Если

31. Чётная периодическая функция , с периодом , определённая на всей числовой прямой, на отрезке задана уравнением . Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно 6 корней.

Решение. 1. Построим график функции на отрезке . Имеем

Так как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вверх, то функция на отрезке убывает. Поэтому для построения графика части параболы на отрезке найдём значения:

Точку пересечения параболы на отрезке с осью абсцисс находим из системы

Строим график параболы на отрезке (рис. 33 а)).

2. Строим график функции на отрезке (рис. 33 б)).

3. Построим график функции , которая является чётной периодической функцией, с периодом , определённая на всей числовой прямой и на отрезке задана уравнением .

а) На рисунке 33 в) изображён график функции на отрезке (воспользовались тем, что функции является чётной).

б) На рисунке 34 изображён график функции на отрезке (воспользовались тем, что функции является периодической с периодом ).

Отметим: исходное уравнение имеет бесконечное множество корней, если и не имеет корней, если (рис. 34); не является корнем исходного уравнения.

Замечание. Так как функции является чётной, то, если пара удовлетворяет уравнению , то и пары также удовлетворяет этому уравнению.

Из замечания следует, что исходное уравнение надо рассмотреть при и Если при и исходное уравнение имеет три корня, то при и это уравнение имеет шесть корней.

Дата добавления: 2015-07-20