Введение в механику сплошной среды

Учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону

Печатается по решению кафедры математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ в рамках проекта K-07-T-41 программы развития ЮФУ.

Ответственный редактор ст. преп. Лурье М.М.

Компьютерный набор и верстка ст. преп. Лурье М.М.

В данном пособии изложены основные постулаты и приближения, разобраны материальное и пространственное описания движения сплошной среды. Сформулированы балансные законы системы материальных точек, и получены основные уравнения неразрывности, движения и симметрии механики сплошной среды. Приведены примеры получения закона движения в лагранжевом и эйлеровом описании, рассмотрены методы определения главных деформаций и напряжений.

Пособие предназначено для преподавания дисциплин в рамках магистерской образовательной программы «Математическое моделирование и компьютерная механика».

Может быть также использовано студентами и аспирантами факультета математики, механики и компьютерных наук, специализирующихся в области механики твердого деформируемого тела, механики жидкости и газа, математического моделирования и вычислительной математики

Содержание

Введение …………………………………..…………………… 4

1 Основные понятия …………………………..…………… 7

1.1 Гипотеза сплошности ………………………………………….. 7

1.2 Непрерывные отображения …………………………………… 9

1.3 Движение сплошной среды …………………………………... 11

1.4 Скорость и ускорение ………………………………………….. 13

1.5 Меры физических величин ……………………………………. 16

2 Основные тензорные величины ……………………………… 19

2.1 Тензор деформаций …………………………………………… 19

2.2 Геометрически линейная механика …………………………….. 20

2.3 Геометрический смысл компонент деформаций …………. 22

2.4 Главные направления и главные деформации ……………….. 24

2.5 Тензор скоростей деформаций…………………………………… 25

2.6 Вектор напряжений ……………………………………………. 26

2.7 Тензор напряжений …………………………………………… 27

2.8 Главные направления и главные напряжения ……………….. 29

2.9 Интенсивность напряжений ……………………………………. 31

3 Фундаментальные законы механики …………….………. 32

3.1 Теорема переноса …………………………………………... 32

3.2 Закон сохранения массы ……………………………..……. 32

3.3 Закон сохранения импульса …………………………………… 33

3.4 Закон сохранения момента импульса ……………………… 33

4 Примеры решения задач …………………………………… 34

Заключение ………………….…………………………………………… 38

Список литературы ………………………..……………………………… 38

ВВЕДЕНИЕ

Механика сплошной среды (МСС) – раздел теоретической физики, в котором изучаются макроскопические движения твердых, жидких и газообразных сред с учетом и под влиянием физических полей различной природы. В отличие от теоретической механики, где изучается движение системы материальных точек и твердых тел, в МСС приходится оценивать не только влияние на частицы внешних факторов, но и учитывать взаимовлияние их друг с другом и отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела. В связи с этим в круг вопросов МСС входят теории деформирования твердых тел, теории течения жидких и газообразных тел, теории, изучающие поведения тел, которые проявляют признаки и упругости и течения. Более того, здесь рассматриваются теории перехода тела из одного агрегатного состояния в другое, пластичность, поляризации, намагниченности, диффузии и другие фазовые превращения. Тем не менее, разработанные методы справедливы не для любых объектов, с которыми оперирует техника, и тем более природа. И это связано исключительно с атомно-молекулярным строением тел. Только в том случае, когда движением отдельных корпускулярных частиц, каковыми являются атомы и молекулы, можно пренебречь в общем движении их большой массы, можно говорить о законах движения механики сплошной среды. В связи с этим можно сказать, что строительные конструкции, шестерни механизмов вращения, истечение газа из сопла, обтекание жидкостью твердых тел и многое другое можно рассматривать методами МСС. А движение отдельной молекулы в замкнутом сосуде, поведение нано-трубок в электрических и магнитных полях, растяжение нано-пленок и прочие проблемы нано-мира не входят в круг задач МСС. Поэтому в основе этой науки лежит гипотеза о сплошности или непрерывности вещества, которая позволяет рассматривать все тела с непрерывно распределенной массой, отбрасывая их реальное дискретное строение. В этом случае удается весьма успешно оперировать с полями физических величин как непрерывными функциями. Каждую точку можем считать предельной точкой множества распределенных материальных точек, что, в свою очередь, позволяет использовать хорошо разработанный аппарат исчисления бесконечно малых. Исследуя поведение материальных частиц, механика сплошной среды занимает промежуточное положение между механикой, физикой твердого тела и молекулярной физикой. Это проявляется в том, что материальные частицы в механике сплошной среды, с одной стороны, подчиняются фундаментальным законам механики, но с другой стороны, они испытывают внутренние взаимодействия, которые являются прямым следствием внутреннего межмолекулярного взаимодействия. Это обстоятельство приводит к тому, что модели МСС строятся, как с использованием фундаментальных законов механики, справедливых для материальных систем микроскопических, макроскопических и мегаскопических размеров, так и других дополнительных законов межмолекулярного взаимодействия, которые имеют место лишь в определенных рамках изменения внешних параметров. Примером фундаментальных законов для твердого тела могут служить законы сохранения импульса и момента импульса, а дополнительным законом - линейный закон Гука, т.к. при больших деформациях возникает пластичность и линейность нарушается.

Уравнения, получающиеся из фундаментальных и дополнительных законов, должны обладать полнотой, в том смысле, что их вполне достаточно для получения решения, описывающего поведение рассматриваемого тела или протекающего в нем процесса. Основной задачей МСС является построение таких систем уравнений, которые и определяют соответствующую модель эволюционирующей материальной среды.

Актуальность пособия. Несмотря на то, что первые уравнения МСС были получены более двухсот лет назад, и к настоящему времени имеются учебные пособия и даже фундаментальные монографии, актуальность самой науки неуклонно возрастает. Особенно это стало заметно в связи с применением в технике активных материалов, таких, которые способны преобразовывать механическую энергию в другие виды энергии, и наоборот. В классических учебниках такие модели не описываются, а фундаментальные монографии порой трудно доступны, а порой трудны для понимания учащимися. Все это делает актуальным разработку вспомогательных учебных пособий, которые бы описывали усложненные модели, с одной стороны, и обладали свойством математической строгости и физической простоты в понимании, с другой стороны.

Цели и задачи курса. Настоящее учебное пособие имеет своими целями последовательное изучение гипотез и аксиом; фундаментальных балансных законов и вывод, вытекающих из них уравнений; принципов выбора вспомогательных законов и получающихся определяющих соотношений; описание взаимодействующих физических полей с указанием их места и роли в классических и неклассических моделях МСС. Другой целью является выработка практических навыков математического моделирования механических систем на основе изложенных принципов и законов с применением численных методов и программных средств.

Задачами пособия являются: обеспечение теоретической подготовки в области фундаментальных законов естествознания; приобретение практического опыта в правильной постановке задачи, которые необходимы при использовании современных вычислительных комплексов; тренировка способностей анализа результатов и развитие инженерной интуиции.

Пути достижения. Для достижения поставленных задач необходимо последовательно изучить основы тензорного анализа, основы механики сплошных сред, основы термодинамики и электродинамики. Блок предлагаемых практических задач позволит научиться ставить классические начально-краевые задачи теории упругости, гидромеханики, аэродинамики, задачи по расчету напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций из анизотропных и неоднородных материалов, рассчитывать температурные и электромагнитные поля в средах определенного геометрического вида.

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1 ГИПОТЕЗА СПЛОШНОСТИ

Гипотеза сплошности. Под материальными объектами подразумеваются всевозможные тела, которые могут изменять как угодно свою форму. Они могут находиться в четырех агрегатных состояниях: твердом, жидком, газообразном и состоянии плазмы. МСС имеет дело с телами, которые содержат в себе огромное число корпускулярных частиц: молекул и атомов. Отличие агрегатных состояний друг от друга заключается в степени упаковки этих частиц. Например, в обычных условиях в объеме воздуха 1 см³ содержится молекул, для железа . К этому необходимо добавить, что молекулы находятся в беспрестанном движении, в газах их скорости достигают скоростей реактивных самолетов. И хотя неплотная упаковка молекул в газах позволяет молекулам иметь некоторую длину свободного пробега, все же столкновений наблюдается огромное число. В жидких телах молекулы упакованы более плотно, чем в газах, но почти не связаны друг с другом, что также позволяет им перемещаться с места на место, доказательством чего является броуновское движение. В твердых телах наблюдается плотная упаковка и обнаруживается связь между соседними молекулами, а их движение проявляется в непрестанном колебательном движении возле некоторого положения равновесия. Интенсивность их движения объясняет кинетическую природу теплоты, и степень нагрева вещества, т.е. температуру. В основе всей теории механики сплошной среды лежит гипотеза о сплошности или непрерывности вещества, благодаря которой мы отвлекаемся от корпускулярного строения вещества и считаем, что масса распределена непрерывно. Для того, чтобы оценить применимость этой гипотезы к реальным средам вводится так называемое число Кнудсена, равное отношению размера молекулы на среднюю длину ее пробега . Условно считают: если , то среду можно рассматривать как сплошную.

Пример: в межзвездной среде в 1 см³ ; объемы таких сред, сравнимые по размерам с космическим кораблем, не могут изучаться методами механики сплошных сред.

Материальные точки. В механике, рассматриваемые материальные объекты, имеющие размеры, не играющие существенной роли в рассматриваемом процессе по отношению к размерам других объектов, принимаются за материальные точки. Любое материальное тело можно рассматривать, как состоящее из элементарных объемов, заполненных массой. И поскольку каждый элементарный объем имеет размеры, несущественные по отношению к характерному размеру всего тела, то, будучи заполнен массой (согласно гипотезе непрерывности), может рассматриваться как материальная точка, за координаты которой можно взять координаты любой геометрической точки, находящейся в этом элементарном объеме. Другими словами, под материальной частицей, находящейся в некоторой точке пространства, понимаем элемент массы, центр которого совпадает с этой точкой. Далее все тела рассматриваются в виде связанного множества материальных точек.

Понятие пространства. Будем рассматривать процессы, протекающие со скоростями значительно меньших скорости света (принимается экспериментально установленный факт, что скорость света в пустоте постоянна и одинакова во всех направлениях, независимо от скоростей источника и приемника). Под пространством будем понимать некоторое вместилище, в котором находятся материальные объекты (вопрос о том, может ли существовать пространство независимо от материальных объектов его заполняющих, здесь не рассматривается).

Системы координат. Положение материальной точки можно охарактеризовать положением той геометрической точки пространства, с которой она совпадает в настоящий момент времени. Для отличия одних геометрических точек от других, в пространстве вводится понятие «ближе - дальше», «выше - ниже», «левее - правее» по отношению к некоторому наблюдателю. Этим самым вводится система координат. Ввести систему координат в пространстве - это означает, что надо поставить в соответствие каждой точке пространства упорядоченную тройку чисел.

Время определим как некоторый скалярный параметр, характеризующий продолжительность естественных или искусственных протекающих периодических процессов во Вселенной.

Движение материальной точки. Процесс перемещения материальных точек из одних положений в пространстве в другие будем называть движениемэтих материальных точек. Любые перемещения материальной точки из одной точки пространства в другую происходят не мгновенно, а имеют некоторую продолжительность, которая может быть сравнена с продолжительностью выбранного за эталон периодического процесса, и, следовательно, может быть охарактеризована параметром времени. Будем считать, что время течет равномерно и прямолинейно от прошлого к будущему и бесконечно делимо.

1.2 НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Деформация. Определение среды как сплошной (СС) и введение материальных точек приводит к формулировке основных положений механики сплошных сред, соответствующих непрерывной модели физических систем, которая оперирует основными понятиями теории поля. Главной задачей теории поля является исследование дифференциальных уравнений в частных производных, которые справедливы в евклидовом пространстве механических, термических и электромагнитных параметров состояния, зависящих от пространственных координат и времени. Для классической теории поля характерно использование гипотезы, согласно которой реальное пространство является евклидовым. Таким образом, всегда возможно введение неподвижной декартовой системы координат . Рассмотрим две области и пространства, содержащие некоторое количество непрерывно распределенной материи. Опишем деформацию в физическом смысле, переводящую вещество из области в область см. рис. Пусть - вектор произвольной точки в при деформации переходит в , соответствующий точке , в области . Такую деформацию можно описать преобразованиями

(1.1)

(1.2)

Если пробегает множество точек , то по (1.1) его образ пробегает множество точек , это позволяет говорить, что деформируется в , и, наоборот, из (1.2) вытекает, что деформируется в . В дальнейшем вместо координат с индексом «0» будем иногда использовать обозначения .

Аксиома непрерывности пространства гласит: Любая деформация может быть описана лишь однозначными преобразованиями, имеющими непрерывные производные нужного порядка.

Эта аксиома исключает нереальную деформацию, а часто и физически допустимые сингулярности. Математически это условие означает, что якобиан деформации

удовлетворяет следующему соотношению

.

Следствия из аксиомы непрерывности. Известное соотношение между элементами объема деформированной и недеформированной областей

,

позволяет сделать следующие заключения: 1) материю, находящуюся в конечном объеме, невозможно путем деформации перевести в нулевой или бесконечно большой объем; 2) материальная частица до деформации остается частицей и после деформации.

1.3 ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Движение сплошной среды. Движение СС можно определить как однопараметрическое семейство деформаций, где параметром является время:

(1.3)

(1.4)

Другими словами, (1.3) определяет отображение материальных точек СС, находящихся в объеме в материальные точки, находящиеся в в любой момент времени .

Аксиома непрерывности в отношении времени. Любое преобразование, описывающее движение, имеет непрерывные частные производные по времени сколь угодно высокого порядка (практически достаточно до третьего). Эта аксиома тесно связана с бесконечной делимостью времени.

Пример «движения» не удовлетворяющего аксиоме непрерывности в отношении времени. Дискретное движения объектов, которое можно наблюдать, например, на экране монитора. Это движение, по существу, представляет собой конечную систему неподвижных кратковременных положений объектов в некоторых положениях, и хотя при частой смене этих положений создается впечатление непрерывного движения, в действительности оно непрерывным не является.

Материальное и пространственное описания. В теоретической механике любая точка, входящая в систему имела свой номер. Для конкретизации такой точки надо указать ее номер, тогда уравнения движения позволят в любой момент времени определить координаты положения этой точки в пространстве. В сплошной среде пересчитать точки невозможно. И для конкретизации отдельной частицы невозможно указать ее номер. Однако, как следует из уравнений (1.3), мы можем конкретизировать частицу координатами ее положения в начальный момент времени, пусть она зафиксирована радиус–вектором . Если уравнения движения СС (1.3) известны, то они позволяют определить координаты места в пространстве, которое займет эта частица в текущий момент времени

.

Но это уравнения движения одной выбранной материальной точки, где вместо ее номера (как было в теоретической механике) введены ее координаты в начальный момент времени. Характерно, что координаты любой материальной частицы, которые они имели в начальный момент времени, в процессе движения меняться не будут. И если пробегает все точки начального состояния, то (1.3) позволит определить координаты всех этих же материальных точек (которые в силу следствия из гипотезы непрерывности остаются материальными точками) в любой момент времени. По этой причине координаты материальных точек в начальный момент времени называются материальными координатами или лагранжевыми координатами. Координаты же тех точек пространства, в которых находятся материальные частицы в момент времени , называются пространственными координатами или эйлеровыми координатами. С другой стороны, соотношения (1.4) можно рассматривать как отображение, позволяющее найти начальные (материальные) координаты частиц, находящихся в данный момент времени в точках пространства, определяемых радиус-вектором . Интересно отметить, что для описания различных процессов в СС мы можем выбирать или материальные, или пространственные координаты. Если выбраны материальные координаты, то (1.3) позволяет определить пространственные, а если выбраны пространственные, то (1.4) позволяют определять материальные.

Определение. Если в качестве независимых выбраны материальные координаты, а определяющие и искомые физические поля являются функциями этих координат и времени, то говорят, что используется лагранжево описание движения СС. Если в качестве независимых выбраны пространственные координаты, а определяющие и искомые физические поля являются функциями этих координат и времени, то говорят, что используется эйлерово описание движения СС.

Пример. В качестве примера рассмотрим скалярное поле температур, которое имеет текущая река. Представим себе ситуацию, когда к каждой материальной частице воды прикреплен градусник, перемещающийся так же как и частица. Взглянув в некоторый момент времени на эти градусники, мы увидим поле температур в данный момент. Теперь рассмотрим ситуацию, кода все градусники прикреплены к точкам пространства. Каждый градусник показывает температуру той частицы воды, которая омывает его в данный момент. Взглянув на эти градусники в тот же момент времени, мы увидим то же поле температур. И хотя в первом случае градусники перемещались, а во втором находились в покое, поле температур в один и тот же момент времени они показывали одинаковое. В первом случае использовалось лагранжево описание, а во втором эйлерово.

1.4 СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ

Скорость частицы. Определим скорость частицы как быстроту изменения ее радиус-вектора во времени. Т.к. понятие скорости относится к частице, то для ее определения требуется описание Лагранжа. Для каждой частицы согласно (1.3) ее радиус-вектор должен быть постоянным во время движения, поэтому скорость выбранной частицы определяется частной производной, т.е. по определению

(1.5)

есть скорость частицы , и соответственно из (1.3)

(1.6)

Пространственное описание получим, исключив из (1.6) при помощи обратного преобразования (1.4).

(1.7)

В соответствии с этим соотношением скорость в данной точке оказывается функцией времени, и, следовательно, эйлерово поле скоростей движущегося континуума представляется в виде (1.7).

Понятие субстанциональной производной. Часто необходимо знать, как меняются со временем физические поля, если они определяются самими частицами.

Например, требуется оценить изменение поля температур жидкости в фиксированных точках пространства, когда вполне очевидно, что температуру определяют частицы жидкости, омывающие рассматриваемые точки пространства.

Пусть рассматривается тензорное поле, соответствующее некоторое физической величине. Примем условие: при описании Лагранжа тензорное поле обозначается малыми буквами , а при описании Эйлера - большими , хотя поле физической величины одно и то же. Например, скалярное поле давлений в жидкой среде обозначим - при лагранжевом описании, и - при эйлеровом описании. Очевидно, что при разных описаниях имеем две функции, каждая из которых зависит от соответствующих координат и времени

(1.8)

(1.9)

Проанализируем изменение физической величины во времени в материальном и пространственном описании, для чего проводим операцию дифференцирования по времени

(1.10)

(1.11)

Но в соответствии с (1.3) и (1.5)

,

что позволяет записать предыдущие равенства в виде:

(1.12)

(1.13)

Из (1.12) следует, что в материальном описании полная производная по времени полевой величины совпадает с субстанциональной производной по времени. А из (1.13) вытекает, что в пространственном описании полное изменение физической величины в единицу времени равно сумме локального изменения в точке и конвективного изменения , связанного с перемещением элемента массы, находящегося в данной точке пространства со скоростью центра массы .

Ускорение частицы. Определим ускорение частицы как быстроту изменения ее скорости во времени. Для нахождения ускорения из определения следует, что надо выбирать материальное описание, тогда

(1.14)

Если же полевая характеристика скорости выражена в пространственных переменных, то полное изменение скорости по (1.13) находится в виде

(1.15)

причем согласно принятому условию здесь поле скоростей обозначено большой буквой.

1.5 МЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

О мерах физических величин. Для описания эволюции той или иной системы необходимо использовать физические законы. Такие законы устанавливаются экспериментально на протяжении многочисленных наблюдений, заключений и выводов о ее поведении. Чтобы эти законы выразить в виде математических формул, необходимо учитывать балансные соотношения между физическими характеристиками, принимаемыми для описания эволюции, различных категорий или различной природы.

Пример. Пусть изучается движение некоторого тела. Характер движения может измениться, если на него начнут воздействовать окружающие тела либо непосредственными толчками, либо воздействием на расстоянии полем, либо как-то иначе. Таким образом, необходимо рассмотреть баланс, с одной стороны которого есть движение тела, а с другой воздействие.

Чтобы внести в балансные соотношения, выраженные математическими формулами, физические характеристики различной физической природы необходимо их «оценить» или «измерить» не только качественно, но и количественно. Именно такие меры и входят в балансные соотношения.

Замечание. При определении пространства и времени были введены два физических параметра и , связанных с расстоянием и временем. Они входят в балансные соотношения, но не относятся к мерам физических величин, а только выражают факт двух форм существования материи (пространство и время).

Приведем следующие меры, которые используются в МСС.

Масса. Мерой количества вещества является масса. Пусть в объеме сплошной среды содержится масса . Т.к. масса распределена по этому объему, то можно ввести функцию плотности массы , согласно следующему равенству

.

Масса является экстенсивным параметром, поэтому она аддитивна. Для произвольного объема его масса находится следующим образом

. (1.16)

Сила. Под силой, действующей на материальную точку, будем понимать некоторую меру воздействия на нее со стороны других материальных объектов, которая, оказывает побуждающее к движению действие. Силы могут иметь различную природу, например, появляться при контакте с другими телами, или возникать в результате действия электрических, магнитных и гравитационных полей, но самым общим, их объединяющим признаком, является их побуждающее к движению действие. Поэтому одинаковые движения одной и той же точки, вызванные разными по физической природе воздействиями можно охарактеризовать одной и той же мерой их воздействия, т.е. силой, и при этом полностью отвлечься от самой природы этого воздействия. Если силы распределены в объеме , то можно ввести объемную плотность силы и определить результирующую силу как

.

Можно также ввести массовую плотность силы , как величину силы, действующую на единицу массы, тогда

.

Из равенства сил, стоящих в левой части двух предыдущих формул, вытекает

или .

Сила также является аддитивной величиной, поэтому результирующая сила объема находится следующим образом

. (1.17)

Аналогично можно рассмотреть поверхностную плотность силы , и определить результирующую силу , действующую на поверхности как

.

Результирующая сила на поверхности находится по формуле

. (1.18)

Момент силы. Момент силы относительно некоторого центра, например, относительно начала координат, определяется по самой силе следующим образом

. (1.19)

Количество движения. Определив материальную точку, и, дав определение ее движения, можно определить и меру поступательного движения материальной точки как произведение ее массы на ее скорость. В МСС при использовании материальных координат можно определить количество движения частицы с массой и скоростью как , т.е.

Мера количества движения также является экстенсивным параметром, поэтому для СС, заключенной в произвольном объеме , в котором содержатся одни и те же частицы, количество движения определяется следующим образом

. (1.20)

Момент количества движения. «Внешний» момент количества движения относительно начала системы координат, заданной эйлеровыми координатами , определяется по количеству движения поступательного движения следующим образом

. (1.21)

«Внутренний» момент количества движения относится к внутреннему вращению выбранного элемента массы континуума определяется следующим образом

, (1.22)

где - макроскопическое среднее внутренних моментов инерции, - угловая скорость внутреннего вращения. Чтобы описать превращения «внешнего» и «внутреннего» моментов количества движения друг в друга с помощью неравновесной термодинамики, следует ввести аксиальный вектор

(1.23)

2 ОСНОВНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1 ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ

В деформируемых твердых телах важна такая характеристика, как деформация дела. Деформация появляется тогда, когда материальные частицы изменяют свое положение друг относительно друга. Поэтому введем следующие определения.

Совокупное расположение материальных частиц друг относительно друга называется конфигурацией. Конфигурацию в начальный момент назовем начальной или отсчетной, а конфигурацию в текущий момент времени будем называть текущей или актуальной.

В процессе движения СС изменяет свою конфигурацию (конфигурация не менялась бы, если бы тело двигалось как абсолютно твердое). Изменение конфигурации связано деформацией в физическом смысле. Для того чтобы выразить деформацию математически, необходимо ввести какую-либо меру деформации. Для этого рассмотрим две конфигурации СС, и оценим изменение расстояния между двумя произвольными бесконечно близкими точками. Пусть в отсчетной конфигурации эти точки суть и см. рис. 2. Все материальные точки, которые располагались на бесконечно малом отрезке в отсчетной конфигурации, будут находиться на бесконечно малой дуге (по следствию из гипотезы непрерывности). Длина этой дуги с точность до величин более высокого порядка малости, равна длине бесконечно малого отрезка . Для оценки изменения расстояний между точками до деформации и после, рассмотрим разность квадратов расстояний между этими точками. Векторы и называются векторами перемещений точек и соответственно. Будем считать, что поле векторов перемещений всех точек является функцией лагранжевых координат. Тогда

,

где введен тензор

, (2.1)

называемый тензором деформации Грина.

С другой стороны, мы могли считать поле векторов перемещений функцией эйлеровых координат. Тогда проделывая аналогичные действия, можно получить

,

где введен тензор

, (2.2)

называемый тензором деформации Альманси.

2.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА

Достаточно широкий класс задач описывается соотношениями геометрически линейной механики, основанной на предположении о малости перемещений по сравнению с линейными размерами деформируемого тела и поворотов по сравнению с единицей (ограничения не распространяются на смещения как абсолютно твердого тела). Пусть - характерный линейный размер тела, тогда указанные предположения записываются в виде

1. ;

2. .

Т.к. и , а , то

и ,

но тогда

.

Таким образом, в геометрически линейной механике пренебрегают различием между пространственными и материальными координатами. Кроме того,

Второе условие позволяет оценить , после чего тензор Грина можно представить в виде

.

Совершенно аналогично преобразуется и тензор деформации Альманси

.

В этом случае тензор Грина и тензор Альманси совпадают, его обозначают

(2.3)

и называют тензором деформации Коши.

2.3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ

Наглядная геометрическая интерпретация нелинейных компонент тензоров деформации Грина и Альманси невозможна. Однако можно установить связь с измеряемыми относительными деформациями. Предположим, что рассматривается тензор деформации Грина. Пусть задан малый недеформированный элемент , который в процессе деформации переходит в элемент как показано на рис.

Относительная деформация определяется как относительное изменение длины

,

откуда длина элемента в текущей конфигурации

.

Но согласно лагранжевому описанию, относительная деформация определяется по отношению к первоначальной длине, следовательно

.

Из двух последних равенств получаем

,

из которого очевидно, что относительные удлинения бесконечно малого элемента, совпадающего по направлению в отсчетной конфигурации с направлением первой координатной оси, связаны с первым компонентом тензора деформации Грина. Аналогичные правила имеют место и для других направлений.

Пусть теперь рассматриваются два недеформированных ортогональных линейных элемента в отсчетной конфигурации и , которые переходят соответственно в элементы и .Скалярное произведение линейных элементов после деформации дает

.

Но с другой стороны

.

Поэтому

,

а с учетом полученных ранее соотношений

получается формула для изменения угла

.

Аналогично получаются соответствующие выражения для остальных углов.

Если ограничиться малыми деформациями, то геометрический смысл компонент деформаций приобретает ясный смысл: компоненты деформаций с одинаковыми индексами равны относительным удлинениям бесконечно малых отрезков, взятых в направлении соответствующих координатных линий; компоненты деформаций с разными индексами равны углам скашивания первоначально прямых углов между бесконечно малыми отрезками, взятых вдоль направления соответствующих координатных линий.

Другими словами, компоненты деформации с одинаковыми индексами описывают относительные удлинения среды, а компоненты деформации с разными индексами описывают сдвиги, первоначально ортогональных элементов

2.4 ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

При повороте выбранной системы координат компоненты тензора деформаций преобразуются по соответствующим формулам перехода. Известно, что для каждого тензора второго ранга существуют три инварианта, не зависящие от ориентации системы координат:

Для тензора деформаций возникает задача определения для данной точки области тех направлений, в которых тензор малых деформаций имеет только относительные удлинения элементов и не имеет сдвигов. Если преобразовать компоненты тензора деформаций к таким осям, то для этих направлений тензор деформации будет шаровым. Отсюда получаем, что если такие направления существуют, то должны выполняться условия коллинеарности векторов и , т.е. должны выполняться равенства ( - коэффициент пропорциональности)

.

В силу симметрии тензора деформации предыдущее равенство можно переписать в компонентах декартовой системы координат

.

Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для тензора деформаций

с коэффициентами, равными инвариантам тензора деформаций. Использование теоремы Виета позволяет выразить инварианты через корни полученного характеристического уравнения

Т. к. собственные значения вещественного симметричного тензора второго ранга являются всегда вещественными числами, то главные деформации всегда вещественны.

2.5 ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ

В жидких и газообразных телах такая характеристика, как деформация не играет почти никакой роли. Действительно, если поменять местами, допустим две частицы в газообразной среде, то изменится конфигурация, и как следствие, появится деформация. Но на внутреннее состояние газа это фактически не скажется. Другое дело, если будем учитывать скорость перемены этих двух частиц, тогда интенсивность такой перемены будет менять внутреннее состояние газа. Чтобы охарактеризовать или оценить в какой-то мере интенсивность изменения деформированного состояния вводится тензор скоростей деформаций. Для этого рассмотрим две бесконечно близкие текущие конфигурации в момент времени и , отличающиеся на момент времени см. рис. 3. Пусть, к тому же, известно поле скоростей в момент времени . Тогда можно определить перемещения частиц за промежуток времени : . Принимая условно конфигурацию в момент времени за «отсчетную», а конфигурацию в момент времени за «текущую», и зная поле перемещений, можем найти приращение тензора деформации за этот промежуток времени. Т.к. в «отсчетной» конфигурации исходными являются эйлеровы координат, значки «0» над набла-оператором не пишем, получаем

Теперь найдем

(2.4)

Полученный тензор носит название тензора скоростей деформаций.

2.6 ВЕКТОР НАПРЯЖЕНИЙ

Когда не тела действуют внешние нагрузки, они не рассыпаются на отдельные материальные частицы, только потому, что между частицами возникают внутренние силовые взаимодействия. Природа этих взаимодействий лежит в области взаимодействия электрических и магнитных сил. Но для оценки этих взаимодействий на уровне материальных частиц введем новое физическое понятие: вектор напряжений. Рассмотрим некоторое текущее состояние СС, на которую наложены внешние воздействия со стороны окружающих тел. Возьмем внутри объема СС произвольную точку и проведем через эту точку поверхность , делящую весь объем на два объема и , как показано на рис. 4. Выберем на поверхности окрестность точки . Рассмотрим воздействие частиц, находящихся в , на частицы, находящиеся в . Оно осуществляется через малую поверхность и сводится к контактному силовому воздействию. А выражается результирующей силой и результирующим моментом . Направление результирующей силы может не совпадать с направлением нормали . Рассмотрим следующую характеристику, подобно тому, как в гидростатике вводится давление жидкости

. (2.5)

Определенная таким образом характеристика называется вектором напряжений в точке , на площадке с нормалью . Если теперь рассмотрим воздействие частиц, находящихся в , на частицы, находящиеся в , то совершенно аналогично обнаружим, что это воздействие сводится к результирующей силе и результирующему моменту . Но и внешняя нормаль на этой площадке . Тогда вектор напряжений на этой площадке можно определить как

. (2.6)

Таким образом, при смене направления нормали на противоположное, вектор напряжений меняет знак на противоположный.

2.7 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Введенный вектор напряжений характеризует внутреннее состояние силовых взаимодействий частиц друг на друга. Эта характеристика обладает свойством зависимости от расположения элементарной площадки, или направления вектора . Выведем правило нахождения вектора напряжений на любой площадке через напряжения на трех координатных поверхностях. Для этого воспользуемся декартовой прямоугольной системой координат и рассмотрим элементарный триэдр, вырезанный в некоторой точке СС см. рис. 5. Пусть на него действует массовая сила . Кроме того, тетраэдр находится внутри сплошной среды, поэтому воздействие частиц вне тетраэдра на частицы, лежащие внутри его можно оценить как воздействие через соответствующие грани в виде векторов напряжений . Обозначим площадь грани через . И пусть на этой грани вектор нормали . Тогда площади остальных граней могут быть выражены через компоненты вектора нормали и площадь :

.

Применяя принцип затвердевания и принцип Даламбера, запишем условие динамического «равновесия» тетраэдра

,

где - высота тетраэдра, проведенная из точки , - ускорение тетраэдра. Воспользуемся основным свойством вектора напряжений (2.6), разделим обе части равенства на и перейдем к пределу, при . Сохраним в предельном переходе направление нормали , в результате получим

. (2.7)

Получили выражение вектора нормали на любой площадке, определяемой нормалью , через векторы напряжений на координатных площадках и компоненты вектора нормали.

Разложим каждый из векторов напряжений координатных площадок

(2.8)

что можно записать в виде компактной записи с учетом правила суммирования по повторяющимся индексам

Далее определим компоненты вектора нормали

.

Тогда соотношение (1.28) можно переписать в виде

.

В этом равенстве введен новый объект – тензор напряжений, через который определяется вектор напряжений на площадке с нормалью . В дальнейшем часто будет применяться полученная только что формула

. (2.9)

Формулы (1.30) дают возможность изучать компоненты тензора напряжений. Действительно, на рис. 6. изображен элементарный куб, на гранях которого действуют соответствующие компоненты тензора напряжений.

На этом рисунке изображены только грани, которые имеют нормали, совпадающие с направлением координатных базисных векторов. На противоположных гранях нормали направлены в противоположные стороны, и согласно (1.28) компоненты тензора напряжений имеют противоположные направления.

2.8 ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

По аналогии с тензором деформаций можно отметить, что тензор напряжений второго ранга имеет три инварианта, не зависящие от ориентации системы координат (дальнейшие формулы приведем в декартовой прямоугольной системе координат):

(2.10)

Для тензора напряжений также интересна задача определения для данной точки области тех направлений, в которых вектор напряжения коллинеарен выбранному направлению. Если преобразовать компоненты тензора напряжений к таким осям, то для этих направлений тензор напряжений будет шаровым. Отсюда получаем, что если такие направления существуют, то должны выполняться условия коллинеарности векторов и , т.е. должны выполняться равенства ( - коэффициент пропорциональности)

.

В силу симметрии тензора напряжений предыдущее равенство можно переписать в компонентах декартовой системы координат

.

Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для тензора напряжений

с коэффициентами, равными инвариантам тензора напряжений. Использование теоремы Виета позволяет выразить инварианты через корни полученного характеристического уравнения

Т. к. собственные значения вещественного симметричного тензора второго ранга являются всегда вещественными числами, то главные напряжения всегда вещественны.

2.9 ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙЯ

В теории пластичности и механике разрушений часто используется величина, называемая интенсивностью напряжений. Прежде чем дать определение этой характеристики, введем некоторые новые объекты. Пусть выбрана декартова прямоугольная система координат. Построим по заданному тензору напряжений его девиатор

Девиатор является также тензором второго ранга, поэтому рассмотрим инварианты этого тензора. Согласно общим формулам (2.10) находим

Интенсивностью напряжений называют величину, пропорциональную квадратному корню из второго инварианта девиатора напряжений, взятого со знаком «минус».

В зависимости от принятого коэффициента пропорциональности различают понятия интенсивности нормальных напряжений или просто интенсивности напряжений

и интенсивность касательных напряжений

.

Формулу интенсивности напряжений можно выразить через компоненты тензора напряжений

.

Для частного случая одноосного напряженного состояния имеем .

3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

3.1 ТЕОРЕМА ПЕРЕНОСА

Рассматривается некоторый объем , состоящий из одних и тех же частиц сплошной среды, перемещающихся в пространстве. Пусть в этом объеме определена плотность некоторой физической характеристики, которая. в свою очередь, определяется интегралом по подвижному объему .

Дата добавления: 2015-07-20