Классический метод решения дифференциальных уравнений

Классический метод решения будем применять к неоднородному линейному дифференциальному уравнению

,

приведенному к виду

путем деления на a ₂ левой и правой части исходного дифференциального уравнения. Тогда a = a ₀/ a ₂; b = a ₀/ a ₂; с = b ₀/ a ₂. Рассмотрим пример решения приведенного неоднородного дифференциального уравнения, у которого корни характеристического уравнения являются отрицательными и действительными.

Пример 1.5.1. Найти решение неоднородного линейного дифференциального уравнения

(1.2)

при нулевых начальных условиях y (0) = 0, (0) = 0 и единичном ступенчатом входном сигнале u (t) = 1(t).

Решение. Решение неоднородного дифференциального уравнения всегда равно сумме y (t) = y _о(t) + y _ч(t), где y _о(t) – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, полученного приравниванием нулю правой части (1.2)

, (1.3)

а y _ч(t) – частное решение, определяемое видом правой части (1.2). Решение однородного дифференциального уравнения (1.3) начинается с задания соответствующего характеристического уравнения

p ² + 8 p + 12 = 0

и определения его корней

p _1,2 = –4 ± ,

p ₁ = – 4 + 2 = –2; p ₂ = – 4 – 2 = – 6.

Общее решение однородного дифференциального уравнения запишется так

,

где С ₁, С ₂ – постоянные интегрирования.

Перейдем к определению частного решения y _ч. Правая часть уравнения (1.2) – константа. Частное решение ищется в форме y _ч = B, где B – константа. Для нахождения B подставим y _ч = B в уравнение (1.2)

12 B = 48, B = 4.

Таким образом, полное решение неоднородного уравнения (1.2) имеет вид

. (1.4)

Исходя из нулевых начальных условий y (0) = 0, (0) = 0, запишем (1.4) в виде двух уравнений

y (0) = С ₁ + С ₂ + 4 =0,

(0) = –2 С ₁ – 6 С ₂ =0

и решим их относительно С ₁ и С ₂

С ₁ = – 6, С ₂ = 2.

Подставляя найденные значения С ₁ и С ₂ в (1.4), получим искомое решение

. (1.5)

Найдите в MATLAB и сравните с (1.5) решение неоднородного дифференциального уравнения, используя оператор dsolve. Наберите программу решения дифференциального уравнения (1.2) с нулевыми начальными условиями.

>> y=dsolve('D2y+8*Dy+12*y=48','y(0)=0','Dy(0)=0')

y = 2*exp(-6*t)-6*exp(-2*t)+4

Последнее выражение и будет решением линейного неоднородного дифференциального уравнения (1.2).

Постройте график переходного процесса при u (t) = 1(t) по программе

>> t = 0:0.1:10;

>> y = 2*exp(-6*t)-6*exp(-2*t)+4;

>> plot(t,y,'k'), grid on

Дата добавления: 2015-07-20