Семантический треугольник

Рис. 3.

И все же именно использование специальной символики сделало математический язык таким продуктивным и эффективным аппаратом как для самой математики, так и для других наук, каковым он явл­яется в настоящее время. Значение символов трудно переоценить. Их использование позволяет значительно сократить за­пись, сделать ее более доступной для понимания и усвоения, помо­гает четко и лаконично отразить результаты исследований и т. п. Кроме того, "некоторые разделы математики вообще невозможны без начертания символов, которые позволяют записывать в ком­пактной и легкообозримой форме предложения, выражение кото­рых на обычном языке было бы крайне громоздким" [6, с. 8].

Под математическими символами будем понимать знаки, ус­ловно обозначающие в письменной математической речи матема­тические объекты, понятия, отношения и т. п. Первыми математи­ческими символами были знаки для записи чисел - цифры. Зачат­ки буквенного обозначения величин появились в III веке, когда Диофант ввел обозначения для неизвестной величины. Широкое применение прописных букв латинского алфавита в алгебре нача­лось с Виета (XVI в.), строчные буквы этого алфавита в математи­ку ввел Р. Декарт (XVII в.), символы для обозначения функций были введены Эйлером и т. д. Современная символика математи­ки создавалась веками, получая на протяжении столетий свое раз­витие при участии многих великих ученых.

Все математические символы можно разделить на следующие группы:

- символы объектов (5, X, 0, 71, ¥ и т. п.);

- символы операций (+, Ö, Ç, v и т. п.);

- символы отношений (=>, =, >, <, и т. п.);

- вспомогательные символы, устанавливающие порядок соче­тания основных символов (скобки, запятая для записи десятичных дробей и т. п.).

Совокупность всех математических символов образует алфа­вит формального математического языка. Так как математичес­кий язык включает в себя множество "подъязыков", то в его алфа­вите можно выделить несколько составляющих его алфавитов: арифметики, алгебры, логики высказываний, теории множеств, дифференциального и интегрального исчислений, аналитической геометрии и др.

Отличные от математических символов невербальные знаки математического языка (схемы, графики, чертежи, диаграммы и др.) являются графическими средствами выражения математичес­кого содержания и служат, в большей степени, для наглядного представления математических объектов и зависимостей. Таким образом, знаковые единицы математического языка можно объединить в три группы: алфавит (символика), словарь (терминология) и графические невербальные средства, отличные от символов.

Все знаки математического языка определенным образом организованы. Отношения между ними устанавливаются в соот­ветствии с синтаксическими правилами. Под синтаксисом пони­мают тот аспект языка, который заключается в связи языковых знаков в высказывании и предложении. Если синтаксис словар­ного запаса математического языка практически совпадает с синтаксисом естественного языка, то с невербальными знаками дело обстоит несколько иначе, хотя и существует определенная аналогия. Слово в формальной математике понимается так же, как и в естественном языке, то есть как последовательность букв (символов) алфавита, имеющая смысл. Например, записи (7,8 + 4)´5; 35; За + 4; a^b являются словами математического языка, а записи 18^А; 8 + ´9а; 56² : % 65 не имеют смысла, а значит, не являются словами. Из слов так же, как и в естествен­ном языке, составляются предложения. Ими в математическом языке служат равенства, неравенства, формулы и т. п. Например, следующие записи являются предложениями математического языка: 38а + 4 > 50; х = 5; (a ^с Ù a ^ b) Þ с÷÷ b. Связь слов мате­матического языка в предложения осуществляется посредством символов операций и отношений, а также вспомогательных сим­волов порядка выполнения операций.

Для невербальных математических знаков, отличных от сим­волов, также устанавливаются определенные синтаксические правила. Так, например, соответствующие элементы пар ото­бражения на графе принято изображать стрелками, направлен­ными от первой компоненты ко второй (рис. 4а) соответствен­ные стороны равных фигур отмечаются одинаковыми значка­ми (рис. 4б) и т. п.

А) Б)

Рис.4

Семантический аспект математического языка проявляется в установлении значений и смыслов языковых единиц. Всякий предмет в математике имеет в математическом языке "имя" (термин В. В. Мадера [5]). При этом под предметом будем по­нимать не только отдельные объекты (треугольник, число во­семь, шар и т. п.), но и процессы - операции (интегрирование, дифференцирование и т. п.), а также и мыслимые предметы (бесконечность). Имя предмета имеет свою внешнюю оболоч­ку. Оно может быть выражено фонетическим словом - терми­ном, быть записано на естественном языке, выражено символи­ческим или другим графическим знаком. Кроме того, каждое имя в математическом языке имеет свой смысл. Таким образом, слово или имя в математическом языке есть комплекс, состоя­щий из предмета, внешней оболочки и смысла. Все три элемен­та этого комплекса связаны между собой: имя называет или обозначает предмет, имя имеет смысл, смысл отражает свой­ства предмета в сознании человека. Комплексное содержание имени может быть представлено схемой, называемой семанти­ческим треугольником (рис. 5).

Таким образом, семантика математического языка раскрыва­ет комплексное содержание каждого математического имени.

Исходя из вышеизложенного, можно заключить, что матема­тический язык имеет свою четко организованную структуру: ал­фавит, словарь, синтаксис и семантику. Заметим, что представ­ленный анализ данной структуры не претендует на семиотичес­кую точность и полноту.

Семантический треугольник

Дата добавления: 2015-07-26