Подчинения принцип

одна из форм Линделёфа принципа, использующая понятие подчинения функций. Пусть w(z) -любая функция, регулярная в круге |z|<1 и удовлетворяющая условию: w(0)=0, |w(z)|<l в |z|<1; пусть функция F(z)мероморфна в |z|<l. Если функция f(z) имеет вид f(z) =F (w(z)), то f(z) наз. подчиненной функции F(z) в круге |z|<1, a F(z) - подчиняющей функцией. Это отношение подчинения обозначается через f(z) F(z). В простейшем случае, когда F(z) - однолистная функция в |z|<l, указанное отношение означает просто, что f(0)=F(0) и что функция f(z) не принимает в круге |z|<1 тех значений, к-рых в нем не принимает функция F(z). Имеют место следующие основные теоремы.

Теорема 1. Пусть функция w=F (z) мероморфна в круге |z|<1 и отображает его на риманову поверхность G (F). Пусть G_r (F) - часть G(F), соответствующая |z| r, r<1. Если f(z) F(z), то значения f(z) в 1 г(при аналитическом продолжении из f(0)=F(0)).лежат в G_r (F), причем граничные точки G_r (F).достигаются только для f(z)=F(ez), |e| = l (см. [2]).

Теорема 2. Если f(z) F(z).и F(z).регулярна в |z| r, r <1, то, полагая

имеем (см. [1]).

Теорема 3. Если f(z) F(z).и F(z) регулярна в z=0, то для коэффициентов разложений f(z) имеем (см. [2]).

Общая теория подчинения полезна при рассмотрении вопроса о множестве значений, принимаемых (или выпускаемых) аналитич. цией. Отношение подчинения можно использовать в двух различных направлениях. Во-первых, можно исходить из заданной функции F(z).и изучать свойства всех функций f(z), подчиненных F(z). Если при этом подчиняющая функция F(z).полностью известна, то известна и область G_r (F), в к-рой лежат значения f(z) (теорема 1), и верхняя граница интегральных средних М _l(r, f) (теорема 2). Если, кроме того, F(z).регулярна в z=0, то имеем верхние границы для коэффициентов функции f(z) (теорема 3). Во-вторых, можно рассмотреть какую-либо мероморфную в круге |z|<l функцию f(z), из свойств к-рой следует невозможность ее подчинения в |z|<1 надлежащей функции F(z). Если при этом F(z), напр., однолистна, то f(z) необходимо принимает в |z|<l значения вне G(F). Эти идеи использования отношения подчинения и выражают П. п. П. п. можно распространять и на многосвязные области (см. [3]).

Дата добавления: 2015-07-26