Читайте также:
|
|
Теорема 1. .
Доказательство:
Пусть функция непрерывна на отрезке
, Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке. Зафиксируем некоторое
. Тогда для
найдется такое
, что для разбиения отрезка
на отрезки
, длины которых
, все колебания функции
на отрезках разбиения удовлетворяют условию
. Отсюда получим
при условии
. Следовательно, для непрерывной функции
на отрезке
выполнено достаточное условие интегрируемости. Значит, существует определенный интеграл
. ■
Теорема 2. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке
, кроме конечного числа точек разрыва, то функция
интегрируема на отрезке
.
Доказательство:
Достаточно рассмотреть случай одной точки разрыва на отрезке
. Пусть
,
,
- колебание функции
на отрезке
. Возьмем любое достаточно малое
и рассмотрим отрезки
и
. На каждом из этих отрезков функция
непрерывна. Следовательно, найдется такое
, что при разбиении их на частичные отрезки
, длины которых
, все колебания функции
на этих отрезках разбиения удовлетворяют условию
. Пусть
. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка
на частичные отрезки
, длины которых
. Для этого разбиения рассмотрим
, где первая сумма составляется по частичным отрезкам, целиком лежащих вне
-окрестности точки
, а вторая сумма – по отрезкам, либо целиком лежащих в этой окрестности, либо имеющих общие с ней точки. Тогда имеем
.
Длины отрезков, целиком попавших в -окрестность точки
, в сумме не превосходит
. Число отрезков, лишь частично попавших в эту окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше
. Следовательно,
. Таким образом,
при условии
. ■
Теорема 3. Если функция монотонна на отрезке
, то она интегрируема на отрезке
.
Доказательство:
Пусть для определенности функция монотонно возрастает на отрезке
. Если
, то
независимо от разбиения отрезка
. Если
, то для некоторого
возьмем
. Пусть
- произвольное разбиение, для которого
. Тогда
. ■
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
П. 7 Критерий интегрируемости функций | | | ПАТОГЕНЕЗ. |