Кинематика сплошной среды

Общая задача кинематики — описание движения среды безотносительно к тому, какие внешние условия вызывают и поддерживают данное движение. Так как сплошная среда представляет собой непрерывную совокупность точек, то определить движение среды — значит описать движение всех ее точек. Движение всегда определяется по отношению к некоторой системе отсчета - системе координат. Условимся через x_1, х₂, х₃ обозначать координаты любой ортогональной системы координат, если нет специальной оговорки.

Рис. 1

Существуют два исторически сложившихся способа задания движения. Первый из них, связанный с именем Лагранжа, заключается в задании кинематических уравнений движения:

x_i= x_i (ξ₁, ξ₂, ξ₃, t) (i = 1. 2, 3), (1.1)

где ξ_i - являются координатами фиксированной (или индивидуальной) точки среды. Совокупность величин ξ и t называют переменными Лагранжа.

Основная задача механики сплошной среды заключается в определении закона движения (1.1). Построение математической модели любой сплошной среды явно или неявно опирается на понятие закона движения.

При лагранжевом задании движения проекции скоростей и ускорений точек среды на оси координат х_i, определяются обычными равенствами

. (1.2)

Хотя лагранжев способ и применяется в некоторых задачах механики сплошных сред, все же он уступает другому, более широко используемому способу Эйлера, который заключается в задании перемещений и, скоростей v, ускорений а и других интересующих нас величин как функций координат точек пространства х_i и времени t, т. е.

u_i = u_i(x₁, x₂, x₃, t);

v_i = v_i(x₁, x₂, x₃, t);

a_i = a_i(x₁, x₂, x₃, t). (1.3)

Совокупность параметров х_i и t называют переменными Эйлера.

Основное различие между методами Лагранжа и Эйлера состоит в том, что с точки зрения Лагранжа нас интересуют законы изменения положения, скорости, ускорения и других величин данной индивидуальной точки сплошной среды, а с точки зрения Эйлера — перемещение, скорость, ускорение и т. д. в точке пространства, мимо которой в данный момент проходят частицы среды.

В механическом отношении оба способа эквивалентны.

При необходимости можно совершить переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера, и наоборот. Если известен закон движения сплошной среды в форме Лагранжа, то, чтобы выразить его в форме Эйлера, достаточно разрешить уравнения (1.1) относительно ξ_i, т. е. получить

ξ_i= ξ_i(x_l, x₂, x₃, t) (1.4)

Эти соотношения при фиксированных координатах х_i указывают те точки ξ_i сплошной среды, которые в разные моменты времени проходят через данную точку пространства.

Если в формулы для проекции скоростей v_i= v_i(ξ₁, ξ₂, ξ₃, t) и других величин, заданных с точки зрения Лагранжа, подставить соотношения (1.4), то будут найдены функции в переменных Эйлера х_i и t.

В том случае, когда задано распределение скорости в форме Эйлера (1.3), учитывая равенства (1.2), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно х_i:

= v_i(x₁, x₂, x ₃, t) (i = 1, 2, 3).

Решив эту систему, найдем x_i = x_i(C₁, C₂, C₃, t), где С₁, С₂, С₃ — постоянные, определяемые по х_i, при t = t₀ , т. е. они являются координатами индивидуальной точки сплошной среды (переменными Лагранжа).

При изучении движения сплошной среды широко используют понятие поля скалярной и векторной величин.

Дата добавления: 2015-07-20