Определение 1.

Аксиомы линейного пространства

Векторным (линейным) пространством (над полем действительных чисел , а в общем случае над полем k) называется множество произвольных элементов с двумя операциями над элементами этого множества “+” (сложение,сумма) и “ ” (умножение,произведение), которые удовлетворяют следующим условиям, называемых “аксиомами линейного пространства”

1. Для любых двух векторов и определен вектор называемый их суммой и обозначаемый . При этом для любых двух векторов и

(свойство коммутативности сложения) (1)

а для любых трех векторов (свойство ассоциативности сложения) (2)

2. В множестве существует элемент , называемый нулевым вектором, такой, что для любого вектора

(3)

3. Ко всякому вектору имеется вектор - , называемый противоположным вектору и удовлетворяющий условию

(4)

4. Для любого вектора и любого числа определен вектор , называемый произведением вектора на число . При этом для любых двух векторов и имеем

(дистрибутивность относительно суммы векторов) (5)

и для любых

(дистрибутивность относительно суммы чисел) (6)

и

(ассоциативность умножения на число) (7)

5. Наконец, (8)

Эти свойства и составляют аксиоматику линейного пространства.

Примечание. Поскольку в определении рассматривается два различных вида сложения и умножения (для действительных чисел и векторов), это определение может вызвать некоторое затруднение в интерпретации. Например, в свойстве (6) предполагается, что левая часть под знаком “+” содержит операцию сложения двух действительных чисел, в то время как в правой части знак “+” подразумевает операцию сложения двух векторов. Так как и - действительные числа, то и операция “+” предполагает сложение двух вещественных чисел. В то же время и являются векторами из в соответствии с определением результата операции умножения числа на вектор. Наиболее важными являются свойства (1) и (4), определяющие, что результат выполнения этих операций не выводит нас из множества , то есть эти свойства определяют условия так называемого “замыкания” множества, когда результат операции снова принадлежит исходному множеству.

Из определения 1 непосредственно выводятся следующие следствия:

1. Из того, что для любого вектора , существует вектор , удовлетворяющий условию вытекает, что он единственный.

2. Из того, что к каждому вектору существует противоположный ему вектор - , удовлетворяющий условию (4),вытекает, что этот противоположный вектор единствен.

3. Справедливо, что .

4. Справедливо, что

5. Справедливо, что

Пусть некоторое линейное пространство над полем , а . Выражение вида

называется линейной комбинацией векторов .

Линейная комбинация

векторов называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной; она, очевидно, равна нулевому вектору.

Дата добавления: 2015-07-26