Рух тіл Сонячної системи.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА

Закони Кеплера. Елементи орбіт планет. Правило Тіціуса-Боде. Рівняння синодичного руху. Конфігурації планет. Петлеподібний рух планет.

ПОСІБНИКИ І ПРИЛАДДЯ. Астрономічний календар на поточний рік, «Справочник любителя астрономии» П.Г.Куликовского, математичні таблиці, калькулятори.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Навколо Сонця обертається 8 великих планет, їх супутники, карликові планети (Церера, Плутон, Еріда), астероїди та об’єкти поясу Койпера, комети, пилові частинки.
В основі орбітальних рухів тіл Сонячної системи лежать закони Кеплера:

1. Усі планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів котрих (спільному для всіх планет) міститься Сонце (рис.1).

Рис.1 Еліпс як орбіта планети; сума радіусів-векторів r₁, і r₂ будь-якої точки еліпса М дорівнює його великій вісі

2. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує однакові пло­щі (рис.2).

Рис.2 Ілюстрація до другого закону Кеплера: площі 1, 2 і 3 – рівнове­ликі, це означає, що по дузі 1 ' планета рухається з більшою швидкістю, ніж по дугах 2 ' і 3 '

З. Квадрати періодів обертання планети навколо Сонця відносяться як куби їхніх середніх відстаней від Сонця.

Якщо періоди обертання двох планет навколо Сонця позначити Т₁ і Т₂, а їхні середні відстані від Сонця (великі півосі еліпсів) — а₁ і а ₂, то третій закон має вигляд:

(1)

Закони Кеплера справедливі не лише для планет, а й для їхніх супутни­ків, як природних, так і штучних. Якщо за одиниці відстані і часу взяти астрономічну одиницю і зоряний рік, то зокрема третій закон Кеплера на­буде вигляду:

(2)

або якщо період обертання Т визначають у земних добах, то:

(3)

З уточненням, зробленим Ньютоном, третій закон Кеплера записується так:

(4)

Це співвідношення дає змогу визначати маси планет, якщо в них є супутники, маси подвійних зір, якщо відомі періоди їхнього обертання і великі півосі їхніх орбіт. Фактично розв'язком є співвідношення.

(5)

У такому вигляді його можна застосувати для довільної системи, яка складається з центрального тіла маси М і тіла маси m, що обертається навколо нього з періодом Т на середній віддалі а.

Найближча до Сонця точка орбіти планети називається перигелієм, найдальша – афелієм (від гр. περι – навколо, зверх; απο – вда­лині, ηλιος – Сонце). Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом е. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра до довжини великої півосі е = с/а (див. рис. 1).

Ексцентриситети орбіт планет малі, так що ці орбіти мало відрізняють­ся від кіл. Найменший ексцентриситет має орбіта Венери (е = 0,007), най­більший — Плутона (е = 0,249), ексцентриситет земної орбіти е = 0,017. Як видно з рис.1, ексцентриситет визначає відстань планети від Со­нця в перигелії r_П і в афелії r_А:

, (6)

З цих рівнянь легко вивести формули для обчислення великої півосі еліпса, яку умовно називають середньою віддаллю планети від Сонця, і ексцентриситету, а саме:

(7)

(8)

Сталість секторіальної швидкості планети (II закон) свідчить про те, що лінійна швидкість її орбітального руху періодично змінюється із зміною радіус-вектору r.

Максимального значення лінійна швидкість планети досягає в перигелії, а.мінімального – в афелії, причому

(9)

Перигелійна і афелійна швидкості визначаються за формулами

, (10)

де V_С – середня швидкість, що відповідає рухові планети по коловій орбіті радіуса а.

Її також називають першою космічною швидкістю.

Швидкість V_С через період обертання записується у вигляді

(11)

У свою чергу, з другого закону Кеплера випливає, що, оскільки дуга 1 ' більша від дуги 3 ' (див. рис.2), а відповідні сектори мають однакові площі, то чим далі планета від Сонця, тим з меншою швидкістю вона рухається. Тобто рух планети навколо Сонця є нерівномірним.

Велика піввісь еліпса а і ексцентриситет е визначають розміри і форму орбіти планети. Це два елементи планетних орбіт. Однак цього ще недостатньо, щоб визначити особливості руху планети. Потрібно ще вказати орієнтацію площини, в якій лежить орбіта, відносно площини екліптики і нарешті час проходження планети через конкретну точку її орбіти. Налі­чують шість елементів орбіти планети.

· По-перше, велика піввісь а.

· По-дру­ге, ексцентриситет е.

· По-третє, кут між площиною орбіти планети і пло­щиною екліптики, тобто нахил орбіти і (рис.3).

Рис.3 Елементи планетної орбіти

· По-четверте, виміряна у площині екліптики кутова відстань b від на­прямку на точку весняного рівнодення до площини орбіти планети в тій її частині, де планета стає ближче до північного полюса екліптики. За­значимо, що лінія перерізу площин орбіти планети й орбіти Землі (пло­щини екліптики) називається лінією вузлів, точки перерізу площини екліптики з орбітою планети – вузлами орбіти. Вузол, через який планета переходить, рухаючись у бік північного полюса екліптики, називається висхідним вузлом, його позначають b, протилежний вузол – низхідний, позначають …. Тому можна сказати, що четвертим елементом планетних орбіт є довго­та висхідного вузлаb. Нахил орбіти і та довгота висхідного вузла визна­чають положення площини орбіти у просторі.

· По-п'яте, кутова відстань перигелію w від висхідного вузла. Нею зада­ють орієнтацію орбіти планети в її площині.

· По-шосте, момент Т₀ проходження планети через перигелій П.

За відомими елементами а, е, і, b, w і Т₀ на основі формул Кеплера об­числюють ефемериди – положення планети на кожен день на декілька років наперед. Розроблено також методи визначення орбіти: обчислення за декіль­кома (не менше трьох) спостереженнями усіх шістьох елементів орбіти.

Кути нахилу орбіт планет до площини екліптики невеликі. Наприклад, для Меркурія і = 7°, для Венери – 3,4°, для Марса – 1,85°. Найбільший він у Плутона – 17,1°.

У 1766 р. німецький астроном Йоганн Тіціус (1729—1796) виявив, що від­стані планет від Сонця можна описати такою простою залежністю:

(12)

Її опублікував і широко популяризував інший німецький астроном Йоганн Боде (1747—1826), тому цю емпіричну закономірність планетних відстаней назвали правилом Тіціуса-Боде. Наприклад, для Меркурія приймається п = – ∞, а отже очікувана відстань r = 0,4 а. о. (точне значення 0,387 а. о.), для Венери п = 0, r = 0,7 а. о. (на­справді 0,723 а. о.), для Землі п = 1, r = 1 а. о., для Марса п = 2, r = 1,6 а. о. (насправді 1,524 а. о.). При п – 3 отримуємо відстань r – 2,8 а. о., на якій планети немає. При п = 4, r = 5,2 а. о. – це відстань Юпітера, для п = 5, r = 10,0 а. о. (точніше 9,540 а. о.) — положення Сатурна. У 1781 р. відкрито планету Уран, яка також підлягала цьому правилу: при п = 6,
r = 19,6 а.о., тоді як справжня відстань планети від Сонця 19,182 а. о.

Проміжок часу, за який планета, якщо на неї дивитися з центра Сонця, здійснивши повний оберт на небі, займе попереднє положення серед зір є зоряним, або сидеричним періодом обертання планети. Відмінність сидеричних періодів обертання планет навколо Сонця від періоду обертання Землі приводить до безперервних змін їх конфігурацій або положень відносно Сонця і Землі.

Відносно Землі Меркурій і Венера є внутрішніми планетами, а Марс, Юпітер, Сатурн, Уран і Нептун – зовнішніми.

Положення внутрішніх планет, в яких вони перебувають на тій самій екліптичній довготі, що й Сонце, називаються сполученнями (рис.4). Видима кутова віддаль планети від Сонця, яка називається елонгацією, періо­дично змінюється від нуля до максимального значення.

Для зовнішньої планети також характерні особливі положення відносно Сонця і Землі, які називаються про­тистоянням, сполученням і квадратурами (рис. 5). В мо­мент протистояння планета перебуває в протилежному напрямі від Сонця відносно Землі.

Рис.4 Конфігурації внутрішньої планети.

Рис.5 Конфігурації зовнішньої планети.

Особливості руху планет, зокрема їхній петлеподібний рух, можна пояснити тим, що спостерігають ці світила з Землі, яка також обер­тається навколо Сонця (рис. 6). Планета зміщується в бік заходу, оскільки її орбіта знаходиться всередині орбіти Землі (це стосується нижніх пла­нет), або тому, що в своєму русі навколо Сонця Земля обганяє планету (для верхніх планет).

Рис.6 Петлеподібний рух планети — наслідок зміщення як планети, так і Землі разом із спостерігачем

Проміжок часу між двома однаковими положеннями планети відносно Сонця з точки зору земного спостерігача називається синодичним періодом обертання планети (від гр. συνοδος – зближення).

Спостерігач на рухомій Землі визначає звичайно не сидеричний, а си­нодичний період обертання планети S. Крім того, він знає сидеричний період обертання Землі навколо Сонця Е. Однак цих двох значень як­раз достатньо, щоб скласти рівняння синодичного руху і за його допо­могою визначити сидеричний період Т будь-якої планети.

Нехай у початковий момент часу Земля, планета і Сонце перебували на прямій лінії (рис. 7). Візьмемо спочатку нижню планету, наприклад, Венеру. Якщо Е і Т — сидеричний

період відповідно Землі і планети, то 360°/ Е і 360°/ Т – зміщення Землі і планети за добу

    Рис.7 Виведення рівняння синодичного руху.

відносно далеких зір. Різниця цих двох величин – це кут, на який плане­та випередила Землю за одну добу. Очевидно, за проміжок S ця планета випередить Землю на один оберт, тобто на 360°, отже 360°/ S – це і є відносне добове зміщення цієї планети. Прирівнявши ці дві величини і скоротивши на 360°, отримаємо рівняння синодичного руху для нижньої планети:

(13)

Таким же чином виводимо рівняння синодичного руху верхньої пла­нети з тою лише різницею, що при цьому більшу кутову швидкість має Земля, тому від її добового зміщення віднімаємо зміщення планети, отримуючи:

(14)

Наприклад, для Венери синодичний період S = 583,9 доби. Врахувавши, що зоряний Е = 365,26 доби, з рівняння (13) знаходимо значення сиде­ричного періоду обертання Венери Т – 224,7 доби.

Приклад виконання обчислень. Найбільша елонгація Меркурія змінюється внаслідок еліптичності його орбіти в межах від ψ _П = 18° до ψ _А = 28° (рис.8). Обчислити перигелійну і афелійну відстань Меркурія від Сонця, ексцентриситет і велику піввісь його орбіти, сидеричний і синодичний періоди обертання навколо Сонця. Відстань від Землі до Сонця а_Т= 1 а. о., Е = 1 року.

Рис.8 Можливі положення Меркурія

відносно Землі І Сонця.

Р о з в ' я з а н н я. Визначаємо r_П і r_A Меркурія

Знаходимо ексцентриситет орбіти, користуючись рівняннями (6):

або

Отже, е = 0,2055.

Обчислюємо велику піввісь і сидеричний період обертання за формулами (7) і (2):

Оскільки Меркурій є внутрішньою планетою, то за рівнянням (13) маємо:

або

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ.

1. Визначте середню і афелійну віддаль Нептуна від Сонця і ексцентриситет його орбіти, якщо відомо, що сидеричний період обертання Нептуна Т = 164,7 років, а віддаль від Сонця в перигелії r_П = 29,81 а. о.

2. Ексцентриситет орбіти малої планети Юнони е = 0,258, сидеричний період обертання Т – 4,36 років. Обчисліть максимальну і мінімальну віддаль Юнони від Сонця, а також відношення її лінійних швидкостей у пе­ригелії і в афелії.

3. Віддаль комети Аренда (1951 X) від Сонця їв пе­ригелії r_П = 1,8317 а. о., а в афелії r_A = 6,029 а. о. Виз­начте середню віддаль комети від Сонця, ексцентриситет орбіти та період її обертання навколо Сонця.

4. Афелійна віддаль Марса від Сонця r_A = 1,66 а. о., сидеричний період Т = 1,881 року. Знайти велику пів­вісь і ексцентриситет орбіти Марса та його середню ко­лову швидкість і швидкості обертального руху в точках перигелію і афелію.

5. Третій супутник Юпітера – Ганімед – здійснює повний оберт навколо планети за 7,155 доби на середній віддалі 1,071• 10⁶ км. Тривалість сидеричного місяця ста­новить 27,32 доби, велика піввісь орбіти Місяця дорів­нює 3,844• 10⁵ км. Користуючись III законом Кеплера (9), обчисліть за цими даними масу Юпітера (в масах Землі).

6. Шостий супутник Сатурна Титан обертається навколо планети з періодом
Т = 15,945 доби і перебуває від неї на середній віддалі 1,222 • 10⁶ км. Третій супутник Урана Титанія здійснює обертання навколо пла­нети з.періодом 8 діб 16,82 години на середній віддалі 4,39 •10⁵ км. Визначте, у скільки разів маса Сатурна більша за масу Урана.

7. Найбільша елонгація Венери коливається внаслі­док еліптичності її орбіти від 43° до 48°. Знайти макси­мальну і мінімальну віддаль планети від Сонця, а також сидеричний і синодичний періоди обертання Венери навколо Сонця.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ.

1. Сформулюйте закони руху планет навколо Сонця.

2. Поясніть причину видимих петлеподібних рухів планет се­ред зір.

3. В яких конфігураціях внутрішні і зовнішні планети бувають на найближчих віддалях від Землі?

4. Що таке елонгація планети?

5. Дайте означення сидеричного і синодичного періодів обертан­ня планети навколо Сонця.

6. Сформулюйте правило Тіціуса-Боде.

Дата добавления: 2015-07-26