Общепринятой является аксиоматика А.Н.Колмогорова (1933 г.).

Аксиома 1. Каждому случайному событию А из алгебры событий L ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Характеризуя вероятности событий числами, нужно устано­вить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно долж­но произойти. Другими словами, вероятность любого достоверного события равна 1, т.е. р(U)= 1

Аксиома 3. Аксиома аддитивности. Если события А₁, А₂,.... А_n,... попарно несовместны,

Р(А₁ + А₂ +... +А_n +...) = P(A₁) + Р(А₂) +... + P(А_n) +...

Следствие 1. Если события А₁, А₂,..., А_n попарно несовместны, то

P(А₁ + А₂ +... +А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) +... + Р(А_n)

Для n = 2. Если события А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие 2. Противоположностью достоверного события является невоз­можное событие - то, которое в данном опыте вообще не мо­жет произойти. Другими словами, вероятность любого невозможного события равна 0, т.е.

р(V) = 0

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.

р(А) + р( Ā ) = 1 или

р(А) = 1 – р( Ā ).

Следствие 4. Вероятность любого случайного события лежит в пределах от 0 до 1, т.е.

0 < p(А) < 1

Следствие 5. Если А Í B, то Р(А) £ Р(В).

Замечание 1. Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события.

Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю: P(A)→ 0.

Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква за­писывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина": "Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать прак­тически невозможным.

Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице: P(A) →1.

Если какое-то событие А практически не­возможно, то противоположное ему событие Ā практически достоверно и наоборот.

Практически невозможные (и сопутствующие им практичес­ки достоверные) события играют большую роль в теории веро­ятностей: на них основана вся её познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью достоверным; он может быть только практически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью.

В основе применения всех выводов и рекомендаций, добы­ваемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип прак­тической уверенности, который можно сформулировать следую­щим образом: Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не расс­читывать на его появление.

В повседневной жизни мы постоянно пользуемся этим принципом.

Например, выезжая ку­да-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погиб­нуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность этого события все же имеется. Отправляясь ле­том на Кавказ или в Крым, мы не захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настигнет мороз, всё-таки не равна нулю.

Переходим к самому тонкому и трудному вопросу: насколь­ко мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным?

Ответ на вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических сооб­ражений, в соответствии с той важностью, которую имеет же­лаемый для нас результат опыта. Чем опаснее для нас воз­можная ошибка предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невоз­можным.

Замечание 2. Если вероятность события вычисляется без каких-то ни было дополнительных предположений, кроме лишь условий эксперимента, то такая вероятность называется безусловной - р(А). Иногда, в ряде случаев вероятность вычисляется при дополнительных условиях, состоящих в том, что какое-то событие уже произошло, такая вероятность называется условной – р(А/В). Условная вероятность оценивает шансы осуществления события А, когда известно, что произошло событие В.

Замечание 3. Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. Приведём теоремы, с помощью которых можно по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других случайных событий, каким – либо образом связанных с первыми.

2.2.

Теорема: Вероятность произведения двух событий:

- если события независимы, равна произведению вероятностей этих событий, т.е. р(А * В) = р(А) * р(В)

( также справедливо для любого конечного числа событий

р (А₁ * А₂ * …* А_n) = p(A₁) * p(A₂) *... * p(A_n) или

p(∏_n A_i) = ∏_n p (A_i));

- если события зависимы, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.е.

р(А * В) = р(В) * р(А / В) = р(А) * р(В /А)

(также справедливо для любого конечного числа событий

р (А₁ * А₂ * …* А_n) = p(A₁) * p(A₂ / А₁) * p(A₃ / А₁ А₂)... * p(A_n / А₁ А₂ …А_n-1))

◄ Задача: В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, что оба карандаша окажутся красными?

Решение: σ – из каждой коробки вынимается по одному карандашу.

Пусть событие А – вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие В – вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ – оба вынутые карандаши оказались красными. Так как необходимо найти вероятность произведения событий, определяем зависимость событий А и В. Поскольку события независимы (карандаши вынимаются из разных коробок), то

р(А * В) = р(А) * р(В).

Далее необходимо найти р(А) и р(В), используется алгоритм нахождения вероятности одного события.

Для р(А): σ_А – вынимается карандаш из первой коробки. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 10.

А – вынутый карандаш из первой коробки оказался красным,

m = 4.

Отсюда р(А) = 4/10 = 0.4.

Аналогично для р(В): σ_в – вынимается карандаш из второй коробки. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 10.

В – вынутый карандаш из второй коробки оказался красным,

m = 3.

Отсюда р(В) = 3/10 = 0.3.

Затем подставляем в формулу, полученные вероятности событий р(А * В) = р(А) * р(В) = 0.3*0.4 = 0.12.►

◄ Задача: На склад поступило 35 холодильников. Известно, что пять холодильников с дефектами, но неизвестно – какие. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

Решение:

σ – из 35 холодильников наудачу выбирается два.

Пусть событие А – первый холодильник оказался с дефектами, событие В – второй холодильник оказался с дефектами. Тогда событие АВ – оба холодильника с дефектами. Так как необходимо найти вероятность произведения событий, определяем зависимость событий А и В. Поскольку события зависимы (холодильники из одной партии), то

р(А * В) = р(В) * р(А / В) = р(А) * р(В /А).

Далее необходимо найти р(А) и р(В/А), используется алгоритм нахождения вероятности одного события.

Для р(А): σ_А – выбирается наудачу холодильник с дефектами. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

n = 35.

А – холодильник оказался с дефектами,

m = 5.

Отсюда р(А) = 5/35 = 1/7.

Аналогично для р(В/А): σ_А/В – выбирается наудачу холодильник с дефектами. Так как при испытании наступает каждый раз одно и только одно из этих элементарных исходов и все элементарные исходы данного опыта равновозможны, то будет использоваться классическое определение вероятности.

Учитывая, что из партии взят один холодильник n = 34.

В/А – данный холодильник оказался с дефектами при условии, что первый взятый холодильник также с дефектами,

m = 4.

Отсюда р(В) = 4/34 = 2/17.

Затем подставляем в формулу, полученные вероятности событий р(А * В) = р(А) * р(В /А) = 1/7*2/17 = 0.02.►

2.3.

Теорема: Вероятность суммы двух событий:

1) если события несовместны, равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

2) если события совместны, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности из совместного появления, т.е. Р (А + В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ).

Дата добавления: 2015-07-26